계승적 집합

집합론에서, 어떤 모임 $X$에 대한 $X$-계승적 집합(繼承的集合, 영어: sets hereditarily in $X$)은 $X$에 속하며, 그 모든 원소도 $X$에 속하며, 그 원소의 원소 등등 역시 $X$에 속하는 집합이다.

정의

집합 $X$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $X$의 부분 집합 $S\subseteq X$에 대하여 다음 세 조건이 동치이다.

• $\forall x\in X\colon (x\in S\iff x\subseteq S)$
• $\textstyle S=\left\{x\in X\colon x\cap \bigcup x\cup \bigcup \bigcup \cup \cdots \subseteq X\right\}$
• $X$의 추이적 부분 집합들의 (부분 집합 관계에 대한) 부분 순서 집합의 최대 원소이다.

이 조건을 만족시키는 부분 집합 $S\subseteq X$는 유일하며, 이를 $\operatorname {Hered} (X)\subseteq X$로 표기하자. $\operatorname {Hered} (X)$의 원소는 $X$-계승적 집합(영어: sets hereditarily in $X$)이라고 한다.

보다 일반적으로, 임의의 모임 $X$에 대하여, 마찬가지로 $X$-계승적 집합들의 모임 $\operatorname {Hered} (X)\subseteq X$을 정의할 수 있다. 그러나 $X$가 고유 모임이더라도 $\operatorname {Hered} (X)$는 집합일 수 있다.

성질

다음이 성립한다.

$H_{\aleph _{1}}\subseteq V_{\omega _{2}}$

즉, 계승적 가산 집합의 계수는 $\omega _{1}$ 미만이다.

예

$X$	$\operatorname {Hered} (X)$	집합?	설명
모든 집합의 모임 $\operatorname {Set}$	$V=\operatorname {Set}$	고유 모임	폰 노이만 전체 (정칙성 공리를 가정할 경우)
추이적 집합 $T$	$\operatorname {Hered} (T)=T$	집합
기수 $\kappa$에 대하여, 크기 $\kappa$ 미만의 집합들의 모임 $\operatorname {Set} _{<\kappa }$	$\operatorname {Hered} (\operatorname {Set} _{<\kappa })=H_{\kappa }$	집합	계승적 $\kappa$-미만 집합들의 집합
유한 집합들의 모임 $\operatorname {Set} _{<\aleph _{0}}$	$\operatorname {Hered} (\operatorname {Set} _{<\aleph _{0}})=H_{\aleph _{0}}=V_{\omega }$	집합	계승적 유한 집합(繼承的有限集合, 영어: hereditarily finite set)들의 집합. 폰 노이만 전체의 단계 $V_{\omega }$와 같다
가산 집합들의 모임 $\operatorname {Set} _{<\aleph _{0}}$	$\operatorname {Hered} (\operatorname {Set} _{<\aleph _{1}})=H_{\aleph _{1}}$	집합	계승적 가산 집합(繼承的可算集合, 영어: hereditarily countable set)들의 집합
추이적 집합들의 모임 $\operatorname {transSet}$	$\operatorname {Hered} (\operatorname {transSet} )=\operatorname {Ord}$	고유 모임	(폰 노이만 정의에서의) 순서수의 모임
$\{\varnothing \}$	$\operatorname {Hered} (\{\varnothing \})=\varnothing$	집합
$\varnothing$	$\operatorname {Hered} (\varnothing )=\varnothing$	집합
순서수 정의 가능 집합 $\operatorname {OD}$	$\operatorname {Hered} (\operatorname {OD} )=\operatorname {HOD}$	고유 모임	계승적 순서수 정의 가능 집합(영어: hereditarily ordinal-definable set)

외부 링크

• “Hereditarily finite set”. 《nLab》 (영어). 
• Hamkins, Joel David; Gitman, Victoria. “Hereditary cardinality”. 《Cantor’s Attic》 (영어). 2016년 11월 7일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 8월 22일에 확인함.