다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
- 유한 차원 실수 결합 대수를 이루는 나눗셈환 (실수체, 복소수체, 또는 사원수 대수)
- 위의 유한 차원 왼쪽 가군 (벡터 공간)
- 실수 결합 대수의 준동형 , . 즉, 이는 항등 함수이거나 또는 ( 일 때) 켤레 연산이다.
- 특히, 일 때, 는 환 준동형이 아니므로, 이어야 한다. 따라서, 네 가지가 있다.
- 위의 함수 . 이는 실수 계수 쌍선형 형식이어야 하며, 또한 다음 조건을 만족시켜야 한다.
-
그렇다면, 이 데이터로 정의되는 고전군은 다음과 같은 부분군이다.
-
위의, 위와 같은 함수 는 항상 다음과 같이 분해된다.
-
-
그렇다면, 는 다음과 같은 성질을 갖는다.
-
따라서, 로 정의되는 고전군은 와 로 정의되는 두 고전군의 교집합이다.
또한, 만약 이며, 인 경우, 가능한 는 밖에 없다 (즉, 자명하지 않은 사원수 쌍선형 형식은 존재하지 않는다).
이제, 가능한 경우는 다음 밖에 없으며, 각 경우 이차 형식을 다음과 같은 표준 형식으로 놓을 수 있다.
계수 |
의 조건 |
고전군 |
표준 형식 |
리 대수 형태
|
실수체 |
0 |
|
0 |
|
대칭 쌍선형 |
|
|
또는
|
반대칭 쌍선형 |
( 짝수) |
|
|
복소수체 |
0 |
|
0 |
|
대칭 쌍선형 |
|
|
또는
|
반대칭 쌍선형 |
( 짝수) |
|
|
에르미트
|
|
|
|
반에르미트 |
|
사원수 대수 |
0 |
|
0 |
|
에르미트 |
|
|
|
반에르미트 |
|
|
|
고전군 사이에는 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
-
-
-
-
-
-
-
‘고전군’(영어: classical group)이라는 용어는 헤르만 바일이 1939년에 최초로 사용하였다.[1]