근방 필터
일반위상수학에서 근방 필터(近傍filter, 영어: neighbo(u)rhood filter)는 주어진 점의 모든 근방들로 구성된 필터이다. 일반위상수학에서 필터는 점렬과 그물의 일반화로 사용되며, 필터가 주어진 점에 수렴(영어: converge)하는 것은 필터가 주어진 점의 근방 필터를 부분 집합으로 포함하는 것이다.
정의
편집은 멱집합 속의 필터를 이루며, 이를 의 근방 필터 또는 근방계(近傍系, 영어: neighbo(u)rhood system) 라고 한다. 의 점 의 근방 필터는 한원소 집합 의 근방 필터를 뜻하며, 로 표기한다.
근방 필터 의 공시작 집합 (즉, 이 되는 부분 집합 )을 의 국소 기저(局所基底, 영어: local base)라고 한다.
필터의 수렴
편집위상 공간 위의 필터 및 점 가 주어졌다고 하자. 만약 라면, 가 로 수렴한다(영어: converge)고 하고,
로 표기한다. 이 경우, 를 의 극한(영어: limit)이라고 한다.
보다 일반적으로, 위의 필터 기저 및 점 에 대하여, 만약 라면, 가 로 수렴한다고 한다.
성질
편집위상 공간 의 모든 점 이 가산 집합인 국소 기저를 갖는다면, 를 제1 가산 공간이라고 한다.
분리 공리
편집- 전체가 아닌, 위의 모든 필터가 수렴하는 점의 수는 1개 이하이다.
- 임의의 두 점 에 대하여, 라면, 이자 이다.
- 임의의 두 점 에 대하여, 이자 이며 인 열린집합 가 존재한다.
- 하우스도르프 공간이다.
그물과의 관계
편집임의의 그물이 주어진 점으로 수렴하는지 여부는 이에 대응되는 유도 필터가 그 점으로 수렴하는지 여부와 동치이다. 마찬가지로, 임의의 필터가 주어진 점으로 수렴하는지 여부는 이에 대응되는 그물이 그 점으로 수렴하는지 여부와 동치이다.
예
편집이산 공간 의 점 의 근방 필터는 주 필터 이다. 비이산 공간 의 점 의 근방 필터는 이다.
거리 공간 에서, 다음과 같은 집합은 점 의 국소 기저를 이룬다.
참고 문헌
편집- Bartle, R. G. (1955년 10월). “Nets and filters in topology”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 62 (8): 551–557. doi:10.2307/2307247. JSTOR 2307247. MR 0073153. Zbl 0065.37901.
외부 링크
편집- “Defining system of neighbourhoods”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Neighborhood System Base”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Local base”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Topological base”. 《nLab》 (영어).
- “Definition: neighborhood basis”. 《ProofWiki》 (영어).
- “Definition: local basis”. 《ProofWiki》 (영어).
- Yuan, Qiaochu (2010년 12월 9일). “Ultrafilters in topology”. 《Annoying Precision》 (영어).