가환대수학 에서, 기본 대칭 다항식 (基本對稱多項式, 영어 : elementary symmetric polynomial )은 주어진 차수에 대하여, 이 차수의 모든 가능한 항들을 (계수 1로서) 정확히 하나씩 포함하는 다변수 대칭 다항식 이다. 모든 대칭 다항식 은 기본 대칭 다항식들로 유일하게 구성된다.
차수
k
∈
N
{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
n
{\displaystyle n}
x
1
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n}}
k
{\displaystyle k}
기본 대칭 다항식 은 다음과 같은 대칭 다항식 이다.
e
k
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
∑
1
≤
i
1
<
i
2
<
⋯
<
i
k
≤
n
x
i
1
⋯
x
i
k
∈
Z
[
x
1
,
…
,
x
n
]
{\displaystyle e_{k}(x_{1},\dotsc ,x_{n})=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\dotsb <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}\dotsm x_{i_{k}}\in \mathbb {Z} [x_{1},\dotsc ,x_{n}]}
특히,
k
>
n
{\displaystyle k>n}
e
k
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
0
{\displaystyle e_{k}(x_{1},\dotsc ,x_{n})=0}
e
0
,
…
,
e
n
{\displaystyle e_{0},\dotsc ,e_{n}}
e
0
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
1
{\displaystyle e_{0}(x_{1},\dotsc ,x_{n})=1}
임의의 가환환
K
{\displaystyle K}
n
{\displaystyle n}
대칭 다항식 의 가환환
K
[
x
1
,
…
,
x
n
]
Sym
(
n
)
=
{
p
∈
K
[
x
1
,
…
,
x
n
]
:
∀
σ
∈
Sym
(
n
)
:
p
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
p
(
x
σ
(
1
)
,
…
,
x
σ
(
n
)
)
}
{\displaystyle K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]^{\operatorname {Sym} (n)}=\{p\in K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]\colon \forall \sigma \in \operatorname {Sym} (n)\colon p(x_{1},\dotsc ,x_{n})=p(x_{\sigma (1)},\dotsc ,x_{\sigma (n)})\}}
을 정의할 수 있다. 이 경우, 기본 대칭 다항식을 통한 환 준동형
K
[
y
1
,
…
,
y
n
]
→
K
[
x
1
,
…
,
x
n
]
Sym
(
n
)
{\displaystyle K[y_{1},\dotsc ,y_{n}]\to K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]^{\operatorname {Sym} (n)}}
y
i
↦
e
i
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle y_{i}\mapsto e_{i}(x_{1},\dotsc ,x_{n})}
을 생각할 수 있다. 이 환 준동형은 항상 가환환 의 동형 사상 이다.
다시 말해, 임의의 대칭 다항식
p
∈
K
[
x
1
,
…
,
x
n
]
Sym
(
n
)
{\displaystyle p\in K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]^{\operatorname {Sym} (n)}}
에 대하여,
p
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
q
(
e
1
(
x
1
,
…
,
x
n
)
,
…
,
e
n
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
{\displaystyle p(x_{1},\dotsc ,x_{n})=q(e_{1}(x_{1},\dotsc ,x_{n}),\dotsc ,e_{n}(x_{1},\dotsc ,x_{n}))}
이 되는 다항식
q
∈
K
[
y
1
,
…
,
y
n
]
{\displaystyle q\in K[y_{1},\dotsc ,y_{n}]}
낮은 값의
n
{\displaystyle n}
n
=
1
{\displaystyle n=1}
e
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle e_{0}(x)=1}
e
1
(
x
)
=
x
{\displaystyle e_{1}(x)=x}
n
=
2
{\displaystyle n=2}
e
0
(
x
,
y
)
=
1
{\displaystyle e_{0}(x,y)=1}
e
1
(
x
,
y
)
=
x
+
y
{\displaystyle e_{1}(x,y)=x+y}
e
2
(
x
,
y
)
=
x
y
{\displaystyle e_{2}(x,y)=xy}
n
=
3
{\displaystyle n=3}
e
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle e_{0}(x)=1}
e
1
(
x
,
y
,
z
)
=
x
+
y
+
z
{\displaystyle e_{1}(x,y,z)=x+y+z}
e
2
(
x
,
y
,
z
)
=
x
y
+
y
z
+
x
z
{\displaystyle e_{2}(x,y,z)=xy+yz+xz}
e
3
(
x
,
y
,
z
)
=
x
y
z
{\displaystyle e_{3}(x,y,z)=xyz}
n
=
4
{\displaystyle n=4}
e
0
(
x
,
y
,
z
,
w
)
=
1
{\displaystyle e_{0}(x,y,z,w)=1}
e
1
(
x
,
y
,
z
,
w
)
=
x
+
y
+
z
+
w
{\displaystyle e_{1}(x,y,z,w)=x+y+z+w}
e
2
(
x
,
y
,
z
,
w
)
=
x
y
+
y
z
+
z
w
+
w
x
+
x
z
+
y
w
{\displaystyle e_{2}(x,y,z,w)=xy+yz+zw+wx+xz+yw}
e
3
(
x
,
y
,
z
,
w
)
=
x
y
z
+
y
z
w
+
z
w
x
+
w
x
y
{\displaystyle e_{3}(x,y,z,w)=xyz+yzw+zwx+wxy}
e
4
(
x
,
y
,
z
,
w
)
=
x
y
z
w
{\displaystyle e_{4}(x,y,z,w)=xyzw}
Macdonald, I. G. (1995). 《Symmetric functions and Hall polynomials》 (영어) 2판. Clarendon Press. ISBN 0-19-850450-0 
![{\displaystyle e_{k}(x_{1},\dotsc ,x_{n})=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\dotsb <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}\dotsm x_{i_{k}}\in \mathbb {Z} [x_{1},\dotsc ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f0a3e34ca3c74bf2a317773889b1374185c5ed6)
![{\displaystyle K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]^{\operatorname {Sym} (n)}=\{p\in K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]\colon \forall \sigma \in \operatorname {Sym} (n)\colon p(x_{1},\dotsc ,x_{n})=p(x_{\sigma (1)},\dotsc ,x_{\sigma (n)})\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/638f6365db0f71710201251526867c25818e7c04)
![{\displaystyle K[y_{1},\dotsc ,y_{n}]\to K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]^{\operatorname {Sym} (n)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d7e0ca7c164ff7e140f9cab28b10e24cf8ce1e)
![{\displaystyle p\in K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]^{\operatorname {Sym} (n)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffb1c9c8e0966364f5d4b3a2b2b459786973136b)
![{\displaystyle q\in K[y_{1},\dotsc ,y_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbb4d6ff91c06b20b094ab2fcc063be296a3703d)
