수학 에서 기울기 (문화어 :영어 : slope 또는 gradient )는 직선 이 기울어진 정도를 나타내는 수 이다.[ 1] 데카르트 좌표계 에서 직선의 기울기는 대수 적으로 다음과 같이 표현될 수 있다.
m
=
Δ
y
Δ
x
=
r
i
s
e
r
u
n
=
y
2
−
y
1
x
2
−
x
1
{\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {rise}{run}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}
m : 직선의 기울기,
Δ
x
,
r
u
n
,
x
2
−
x
1
{\displaystyle \Delta x,run,x_{2}-x_{1}}
Δ
y
,
r
i
s
e
,
y
2
−
y
1
{\displaystyle \Delta y,rise,y_{2}-y_{1}}
유클리드 기하학 에서 직선 은 두 점 사이를 지나는 가장 짧은 경로인 선분 의 양 끝을 무한히 연장한 개념이다. 아르키메데스 가 제시한 이러한 개념은 오랫동안 기하학 의 공리로서 취급되어 왔다. 17세기 데카르트 는 기하학 의 제반 개념을 대수적으로 해결하려 하였고 직선 역시 데카르트 좌표계에서 일차방정식 으로 나타내게 되었다. 삼각형 의 닮음 조건에 따라, 데카르트 좌표계에서 임의의 일차방정식이 나타내는 직선에서 x의 변화량에 대한 y의 변화량의 비는 언제나 일정하기 때문에, 기울기는 직선의 고유량이라고 할 수 있다.[ 2]
기울기가 m인 일차방정식은 다음과 같이 표기할 수 있다.
y
=
m
x
+
b
{\displaystyle y=mx+b}
왼쪽의 그래프와 같이 데카르트 좌표계에 위치한 직선을 생각하면 기울기 m은 다음과 같이 계산할 수 있다.
m
=
b
−
0
0
−
a
{\displaystyle m={\frac {b-0}{0-a}}}
한편, 이러한 기울기는 이 직선이 x축과 교차하여 이루는 각
ϕ
{\displaystyle \phi }
탄젠트 값과 같다. 즉,
m
=
b
−
0
0
−
a
=
tan
ϕ
{\displaystyle m={\frac {b-0}{0-a}}=\tan \phi }
경사 주의 표지판
왼쪽의 교통 표지판에 나타난 경사도 10 %는 주행거리에 대한 고도 상승의 비를 나타낸다. 즉, 100m를 주행할 때 고도가 10m 상승한다는 의미이다.[ 3]
따라서 기울기는
10
m
100
m
{\displaystyle {\frac {10m}{100m}}}
경사각
=
arctan
10
100
=
0.1
r
a
d
i
a
n
≈
5.7
∘
{\displaystyle =\arctan {\frac {10}{100}}=0.1radian\approx 5.7^{\circ }}
다른 뜻에 대해서는 기울기 (동음이의) 문서를 참고하십시오.
