꼬리 시그마 대수

확률론에서 꼬리 사건(꼬리事件, 영어: tail event)은 어떤 확률 변수들의 열이 주어졌을 때, 처음 유한 개의 변수들의 값들을 잊더라도 나머지 ‘꼬리’만으로 그 여부를 결정할 수 있는 사건이며, 꼬리 시그마 대수(꼬리σ代數, 영어: tail sigma-algebra)는 이러한 사건들로 구성된 시그마 대수이다. 콜모고로프 0-1 법칙(Колмогоров0-1法則, 영어: Kolmogorov zero–one law)에 따르면, 모든 꼬리 사건들은 거의 확실하게 발생하거나 거의 확실하게 발생하지 못한다 (즉, 그 확률이 0 또는 1이다).

정의

다음이 주어졌다고 하자.

확률 공간 $(\Omega ,{\mathcal {F}},\Pr )$
${\mathcal {F}}$ 속의 부분 시그마 대수들의 가산 집합 $({\mathcal {F}}_{i}\subseteq {\mathcal {F}})_{i\in I}$ . (이는 유한 집합 또는 가산 무한 집합일 수 있다.)

또한, $({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}$ 가 서로 독립이라고 하자. 즉, 임의의 유한 부분 집합 $J\subseteq I$ 에 대하여,

\Pr \left(\bigcap _{j\in J}S_{j}\right)=\prod _{j\in J}\Pr(S_{j})\qquad (\forall j\in J\colon S_{j}\in {\mathcal {F}}_{j})

이다.

이제, 가측 집합 $S\in {\mathcal {F}}$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 꼬리 사건(영어: tail event)이라고 한다.

임의의 유한 집합 $J\subseteq I$ 에 대하여, $S\in \sigma (\textstyle \bigcup _{i\in I\setminus J}{\mathcal {F}}_{i})$

꼬리 사건들로 생성되는 시그마 대수를

\tau ({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}

라고 하며, $({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}$ 의 꼬리 시그마 대수라고 한다. 즉, 풀어 쓴다면, 꼬리 사건은 어떤 확률 변수들(로 정의되는 시그마 대수)의 열이 주어졌을 때, 유한 개의 첫 원소를 제외한 나머지 ‘꼬리’만으로도 그 여부를 결정할 수 있는 사건이다.

성질

콜모고로프 0-1 법칙에 따르면, 꼬리 사건의 확률은 0 또는 1이다.

증명:

임의의 유한 부분 집합 $J\subseteq I$ 에 대하여, 꼬리 시그마 대수 $\tau$ 는

\tau \subseteq \sigma (\textstyle \bigcup _{i\in I\setminus J}{\mathcal {F}}_{i})

이므로, $\{\tau \}\cup \{{\mathcal {F}}_{j}\}_{j\in J}$ 는 서로 독립인 시그마 대수들의 족이다. 독립성은 유한 부분 집합에 대하여 정의되므로,

\{\tau \}\cup \{{\mathcal {F}}_{i}\}_{i\in I}

는 서로 독립인 시그마 대수들의 족이다. 특히, $\tau$ 는

\sigma \left(\bigcup _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}\right)

와 독립이다. 그런데

\tau \subseteq \sigma \left(\bigcup _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}\right)

이다. 따라서, $\tau$ 는 스스로와 독립이다. 그 모든 원소 $T\in \tau$ 에 대하여

\Pr(T)=\Pr(T)\Pr(T)

이며, $x^{2}=x$ 의 두 해는 0 및 1이다. 따라서, $\Pr(T)\in \{0,1\}$ 이다.

이 정리는 만약 $I$ 가 유한 집합일 경우 자명하게 참이다. (이 경우 $\tau$ 는 $\sigma (\textstyle \bigsqcup _{I\setminus I}{\mathcal {F}}_{i})=\sigma (\varnothing )=\{\varnothing ,\Omega \}$ 의 부분 시그마 대수이게 된다.)

같이 보기

외부 링크

McNamara, Declan. “Kolmogorov’s zero–one law with applications” (PDF) (영어).