이항 정리

초등대수학에서 이항 정리(二項定理, 문화어: 두마디공식, 영어: binomial theorem)는 이항식의 거듭제곱을 이항 계수를 계수로 하는 일련의 단항식들의 합으로 전개하는 정리이다. 이항 정리를 사용하면 더욱 편리하게 계산할 수 있다.

정의

파스칼의 삼각형의 처음 5줄

이항 정리에 따르면, 이변수 복소수 다항식 $(x+y)^{n}$을 다음과 같이 전개할 수 있다.

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}=x^{n}+nx^{n-1}y+{\frac {n(n-1)}{2}}x^{n-2}y^{2}+\cdots +y^{n}$

여기서

${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k!}}$

는 이항 계수이며, $n$개에서 $k$개를 고르는 조합의 가짓수이다. 이항 계수는 파스칼의 삼각형의 원소들인데, 이 삼각형에 배열되었을 때, 이항 계수는 좌우 대칭을 띠며, 각 원소는 바로 위의 두 이웃 원소의 합이다.

증명

조합론적 증명

$(x+y)^{n}$의 전개는 다음과 같은 $2^{n}$개의 항으로 이루어진다.

$e_{i1}e_{i2}\cdots e_{in}$

여기서

$e_{ij}\in \{x,y\}$

$i=1,2,\dots ,2^{n}$

또한, $x^{n-k}y^{k}$ 꼴의 항의 개수는 $n$개에서 $k$개를 고르는 조합의 가짓수와 같으며, 즉 이항 계수 $\textstyle {\binom {n}{k}}$와 같다. 이는 각 항이 $\{1,2,\dots ,n\}$의 부분 집합과

$e_{i1}e_{i2}\cdots e_{in}\mapsto \{j\in \{1,2,\dots ,n\}\colon e_{ij}=y\}$

와 같이 일대일 대응하며, 이 경우 $x^{n-k}y^{k}$ 꼴의 항들은 $\{1,2,\dots ,n\}$의 $k$원소 부분 집합들과 일대일 대응하기 때문이다. 따라서, 이항 정리가 성립한다.

수학적 귀납법을 통한 증명

이항 계수의 항등식

${\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}={\binom {n+1}{k}}$

및 지수 $n$에 대한 수학적 귀납법을 통해 이항 정리를 다음과 같이 증명할 수 있다. 우선, $n=0$의 경우 자명하게 성립한다. 즉,

$(x+y)^{0}=1$

이제, $n$에 대하여 성립한다고 가정하자. 그렇다면,

${\begin{aligned}(x+y)^{n+1}&=(x+y)(x+y)^{n}\\&=(x+y)\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\\&=x\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}+y\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n+1-k}y^{k}+\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}x^{n+1-k}y^{k}\\&=x^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\left({\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\right)x^{n+1-k}y^{k}+y^{n+1}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}x^{n+1-k}y^{k}\end{aligned}}$

즉, $n+1$에 대하여 성립한다. 수학적 귀납법에 따라, 이항 정리는 임의의 $n\in \mathbb {N}$에 대하여 성립한다.

예

몇 가지 작은 지수의 경우의 이항 정리는 다음과 같다.

$(x+y)^{0}=1$

$(x+y)^{1}=x+y$

$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$

$(x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}$

$(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}$

임의의 복소수를 $x$와 $y$에 대입해도 성립한다. 다만 지수 0의 경우 0⁰ = 1이라고 가정해야 한다.

관련 정리

일반화된 이항 정리

 이 부분의 본문은 이항 급수입니다.

이항식을 거듭제곱하는 지수를 임의의 복소수 $\alpha \in \mathbb {C}$까지 확장할 수 있다. 이렇게 일반화된 이항 정리에선 전개가 무한 급수가 되며, 다음과 같다.

$(x+y)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}x^{\alpha -k}y^{k}=x^{\alpha }+\alpha x^{\alpha -1}y+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}x^{\alpha -2}y^{2}+\cdots$

여기서

${\binom {\alpha }{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}}$

는 일반화된 이항 계수이다. 이항 정리는 일반화된 이항 정리에서 $\alpha \in \mathbb {N}$인 특수한 경우이다. $\alpha \not \in \mathbb {N}$일 경우, 이 등식은 $|x|>|y|$일 때 성립하며, $|x|<|y|$일 때 성립하지 않으며, $|x|=|y|$일 때의 성립 여부는 $x,y,\alpha$의 값에 따라 다르다.

다항 정리

 이 부분의 본문은 다항 정리입니다.

이항식 대신 여러 항의 다항식을 사용하면 다항 정리를 얻으며, 다음과 같다.

$(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}\in \mathbb {N} }^{k_{1}+k_{2}+\cdots k_{m}=n}{\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m}!}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}}$

이를 다중지표를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

$(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{K\in \mathbb {N} ^{m}}^{|K|=n}{\binom {n}{K}}x^{K}$

이항 정리는 다항 정리에서 $m=2$인 특수한 경우이다.

다중 이항 정리

하나의 이항식의 거듭제곱 대신 여러 (중복이 가능한) 이항식들의 곱을 사용하면 다중 이항 정리를 얻으며, 다음과 같다.

$(x_{1}+y_{1})^{n_{1}}(x_{2}+y_{2})^{n_{2}}\cdots (x_{d}+y_{d})^{n_{d}}=\sum _{k_{1}=0}^{n_{1}}\sum _{k_{2}=0}^{n_{2}}\cdots \sum _{k_{d}=0}^{n_{d}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}x_{1}^{n_{1}-k_{1}}y_{1}^{k_{1}}{\binom {n_{2}}{k_{2}}}x_{2}^{n_{2}-k_{2}}y_{2}^{k_{2}}\cdots {\binom {n_{d}}{k_{d}}}x_{d}^{n_{d}-k_{d}}y_{d}^{k_{d}}$

이를 다중지표를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

$(x+y)^{N}=\sum _{K\in \mathbb {N} ^{d}\colon K\leq N}{\binom {N}{K}}x^{N-K}y^{K}$

이항 정리는 다중 이항 정리에서 $d=1$인 특수한 경우이다.

가환환의 경우

이항 정리는 임의의 가환환의 원소를 계수로 하는 다항식에 대해서도 성립한다. 이항 정리는 복소수 다항식에 대한 특수한 경우이다.

역사

이항계수가 삼각형의 형태로 배열되는 이 식은 종종 17세기 블레즈 파스칼의 공적으로 알려져 있으나 실제로는 이슬람, 남아시아, 동아시아 문화권 모두에서 독립적으로 미리 발견되어 있었다. 시기와 발견자는 각각 10세기 인도 수학자 할라유다, 페르시아 수학자 알카라지와 13세기 중국의 수학자 양휘였다.

같이 보기

• 이항 분포
• 스털링 근사

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Binomial Theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Binomial theorem”. 《nLab》 (영어). 
• “Binomial theorem”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Binomial theorem, proof of”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Binomial theorem”. 《ProofWiki》 (영어).