올다발

위상수학에서 올다발(미국 영어: fiber bundle, 영국 영어: fibre bundle)은 국소적으로 두 공간의 곱집합처럼 보이는 위상 공간이다. 전체적(globally)으로는 위상적으로 단순한 곱집합과 위상동형이 아니라 더 복잡한 위상구조를 가지고 있을 수 있다. 다발 이론은 대수적 불변량을 통해 주어진 올다발이 어떤 위상구조를 가지는지 다룬다.

정의

$E,B,F$ 가 세 개의 위상 공간이라고 하자. 대략, $E$ 의 모든 점 근처의 근방이 $B\times F$ 의 꼴이라면 $E$ 를 밑공간(base space) $B$ 위에 놓인, 올공간(fiber space)이 $F$ 인 올다발이라고 한다.

엄밀히 말해, 올다발 $(E,B,\pi ,F)$ 는 다음과 같은 데이터로 이루어져 있다. $E$ , $B$ , $F$ 는 위상 공간이며,

\pi \colon E\to B

는 올다발에서 밑공간으로 사영하는 연속적인 전사 함수다. 이 데이터가 올다발을 이루기 위해서는 임의의 점 $x\in E$ 에 대하여, $\pi ^{-1}(U)$ 가 $U\times F$ 와 위상동형인 근방 $U\ni \pi (x)$ 가 존재하여야 한다. 뿐만 아니라, $\pi \colon \pi ^{-1}(U)\to U$ 가 사영 함수 $U\times F\to U$ 와 (위상 동형 아래) 같아야 한다.

다발 사상

같은 밑공간 위의 두 올다발

E{\overset {\pi _{E}}{\twoheadrightarrow }}B{\overset {\pi _{F}}{\twoheadleftarrow }}F

이 주어졌다고 하자. $E$ 에서 $F$ 로 가는 다발 사상(-寫像, 영어: bundle map) $f\colon E\to F$ 는

\pi _{E}=f\circ \pi _{F}

를 만족시키는 연속 함수이다. 즉, 다음 그림이 가환하여야 한다.

{\begin{matrix}E&{\overset {\pi _{E}}{\twoheadrightarrow }}&B\\{\scriptstyle f}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle \operatorname {id} _{B}\\F&{\underset {\pi _{F}}{\twoheadrightarrow }}&B\end{matrix}}

예

자명한 다발

올다발의 가장 간단한 예는 $E=B\times F$ 인 경우다. 이 때 $\pi \colon (b,f)\mapsto b$ 는 단순히 사영 함수다. 이러한 경우를 자명한 다발(trivial bundle)이라고 한다.

벡터 다발

올다발의 대표적인 예는 벡터 다발이다. 이는 올다발의 올공간이 벡터 공간인 경우로, 리만 다양체의 접다발과 공변접다발이 대표적인 예이다. 1차원 벡터 다발은 선다발이라고 한다.

주다발

주다발은 올공간이 군을 이루는 경우로, 미분위상수학과 미분기하학에서 중요한 역할을 하며 또한 게이지 이론에 핵심적인 개념이다.

피복 공간

올공간이 $n$ 개의 점으로 구성된 이산 공간인 올공간은 $n$ 겹 피복 공간이라고 한다.

기타 올다발

이 밖에도, 올이 다른 임의의 위상 공간을 이룰 수 있다. 예를 들어, 호프 다발은 그 올이 구인 경우다.

참고 문헌

Steenrod, Norman (1951). 《The topology of fibre bundles》. Princeton Mathematical Series (영어) 14. Princeton: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00548-5. MR 0039258. Zbl 0942.55002.
Bleecker, David (1981), 《Gauge Theory and Variational Principles》, Reading, Mass: Addison-Wesley publishing, ISBN 0-201-10096-7
Ehresmann, C. 〈Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable〉. 《Colloque de Topologie (Espaces fibrés), Bruxelles, 1950》. Georges Thone, Liège; Masson et Cie., Paris, 1951. 29–55쪽.
Husemöller, Dale (1994), 《Fibre Bundles》, Springer Verlag, ISBN 0-387-94087-1
Michor, Peter W. (2008), 《Topics in Differential Geometry》, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 93, Providence: American Mathematical Society (to appear).
Voitsekhovskii, M.I. (2001). “Fibre space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.

외부 링크

“Fibre space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Fiber bundle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Bundle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Fiber”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Bundle map”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Bundle section”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Fiber bundle”. 《nLab》 (영어).
“Fiber bundles in physics”. 《nLab》 (영어).
“Bundle”. 《nLab》 (영어).
“Fiber”. 《nLab》 (영어).

올다발

목차

정의