단사층

층 이론에서, 단사층(單射層, 영어: injective sheaf, 프랑스어: faisceau injectif)은 층의 범주에서의 단사 대상이다. 이를 사용하여 층 코호몰로지를 계산할 수 있다.

정의

위상 공간 X 위의 아벨 군 값을 갖는 층들의 아벨 범주 $\operatorname {Sh} (X;\operatorname {Ab} )$ 는 항상 충분한 단사 대상을 갖지만, 충분한 전사 대상을 갖지 않는다. $X$ 위의 아벨 군 층의 범주의 단사 대상을 단사층이라고 한다. 즉, 아벨 군층 ${\mathcal {F}}$ 에 대하여, 만약 임의의

층 ${\mathcal {B}}\in \operatorname {Sh} (X;\operatorname {Ab} )$
${\mathcal {B}}$ 의 부분층 ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {B}}$
층 준동형 $\phi \colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {F}}$

가 주어졌을 때, 항상 ${\tilde {\phi }}|_{\mathcal {A}}=\phi$ 인 층 준동형 ${\tilde {\phi }}\colon {\mathcal {B}}\to {\mathcal {F}}$ 가 존재한다면, ${\mathcal {F}}$ 를 단사층이라고 한다.

이 밖에도, 관련된 개념으로

섬세층(纖細層, 영어: fine sheaf, 프랑스어: faisceau fin)
물렁한 층(영어: soft sheaf, 프랑스어: faisceau mou)
말랑한 층(영어: flabby sheaf, 프랑스어: faisceau flasque)
비순환층(非循環層, 영어: acyclic sheaf, 프랑스어: faisceau acyclique)

이 있다. 이 개념들은 파라콤팩트 하우스도르프 공간 위에서 잘 작동하지만, 대수다양체와 같은 공간에서는 잘 작동하지 않는다.

섬세층

위상 공간 $X$ 과 그 열린 덮개 $\{U_{i}\}_{i\in I}$ 및 아벨 군층 ${\mathcal {F}}$ 이 주어졌다고 하자. $\{U_{i}\}_{i\in I}$ 에 종속된 ${\mathcal {F}}$ 의 단위 분할은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

각 $i\in I$ 에 대하여, 자기 사상 $\phi _{i}\in \operatorname {End} ({\mathcal {F}})$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

각 $i\in I$ 에 대하여, $\operatorname {supp} \phi _{i}\subseteq U_{i}$
각 $x\in X$ 에 대하여, $\{i\in I\colon x\in \operatorname {supp} \phi _{i}\}$ 는 유한 집합이다.
$\textstyle \sum _{i}\phi _{i}$ 는 항등 사상이다.

파라콤팩트 하우스도르프 공간 $X$ 위의 아벨 군층 ${\mathcal {F}}$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 아벨 군층을 섬세층이라고 한다.

자기 사상의 층 $\operatorname {End} ({\mathcal {F}})$ 이 물렁한 층이다.
임의의 열린 덮개에 대하여, 이에 종속되는 단위 분할이 존재한다.

물렁한 층

위상 공간 $X$ 위의 아벨 군층 ${\mathcal {F}}$ 에 대하여, 그 에탈레 공간 $\pi _{\mathcal {F}}\colon E\twoheadrightarrow X$ 을 정의할 수 있다. $X$ 의 임의의 닫힌집합 $C\subseteq X$ 에 대하여, 임의의 연속 함수

s\colon C\to E

에 대하여, 만약 $\pi _{\mathcal {F}}\circ s=\operatorname {id} _{C}$ 라면 $s$ 를 ${\mathcal {F}}$ 의 $C$ 위의 단면이라고 하며, 단면 집합을 $\Gamma (C;{\mathcal {F}})$ 라고 한다. 만약 $X$ 가 파라콤팩트 공간일 경우, 이는 $C$ 의 모든 열린 근방에 대하여 취한 귀납적 극한

\Gamma (C;{\mathcal {F}})=\varinjlim _{U\supseteq C}\Gamma (U;{\mathcal {F}})

과 같다.

위상 공간 $X$ 위의 아벨 군층 ${\mathcal {F}}$ 에 대하여, 만약 닫힌집합 $C\subseteq X$ 위의 모든 단면을 $X$ 전체의 단면으로 확장시킬 수 있다면, ${\mathcal {F}}$ 를 물렁한 층이라고 한다. 위상 공간 $X$ 위의 아벨 군층 ${\mathcal {F}}$ 에 대하여, 만약 콤팩트 집합 $K\subseteq X$ 위의 모든 단면을 $X$ 전체의 단면으로 확장시킬 수 있다면, ${\mathcal {F}}$ 를 콤팩트 물렁한 층(영어: c-soft sheaf)이라고 한다.

말랑한 층

위상 공간 $X$ 위의, 구체적 범주 ${\mathcal {C}}$ 의 값을 갖는 층 ${\mathcal {F}}$ 에 대하여, 임의의 두 열린집합 $V\subseteq U\subseteq X$ 에 대하여 제한 사상

\operatorname {res} _{UV}\colon \Gamma (U,{\mathcal {F}})\to \Gamma (V,{\mathcal {F}})

이 전사 함수라면, ${\mathcal {F}}$ 를 말랑한 층이라고 한다.^[1]^{:67, Exercise 1.16}^[2]^:137 즉, 임의의 열린집합에 정의된 단면을 공간 전체로 연장할 수 있는 층이다.

이름의 "말랑한"(프랑스어: flasque, 영어: flabby)은 주어진 단면을 쉽게 연장할 수 있는 성질을 말랑말랑한 찰흙 따위에 빗댄 것이다.

비순환층

위상 공간 $X$ 위의 아벨 군층 ${\mathcal {F}}$ 에 대하여, 만약 모든 양의 차수 층 코호몰로지 군이 자명군이라면, ${\mathcal {F}}$ 를 비순환층이라고 한다.

H^{i}(X;{\mathcal {F}})=0\qquad (\forall i>0)

물론, 0차 코호몰로지 군은 단면들의 군 $H^{0}(X;{\mathcal {F}})=\Gamma (X;{\mathcal {F}})$ 이므로, 층이 자명하지 않는 이상 자명군이 아니다.

성질

파라콤팩트 하우스도르프 공간 위의 아벨 군층들에 대하여, 다음이 성립한다.

단사층 ⊆ 말랑한 층 ⊆ 물렁한 층 ⊆ 비순환층

단사층 ⊆ 섬세층 ⊆ 물렁한 층 ⊆ 비순환층

그러나 일반적으로 물렁한 층이 아닌 섬세층이 존재하고, 또 섬세층이 아닌 물렁한 층이 존재한다.

섬세층은 비순환층이므로, 복소 대수기하학에서 단사 분해(injective resolution) 대신에 섬세층을 이용해서 다른 주어진 층들의 층 코호몰로지를 계산할 수 있다. 돌보 분해(Dolbeault resolution)가 대표적인 그러한 경우이다.

위상 공간 $X$ , $Y$ 사이에 연속 함수 $f\colon X\to Y$ 가 주어졌을 때, $X$ 위의 말랑한 층 ${\mathcal {F}}$ 의 직상 $f_{*}{\mathcal {F}}\in \operatorname {Sh} (Y)$ 역시 말랑한 층이다.^[1]^{:67, Exercise 1.16d} 위상 공간 $X$ 의 열린집합 $U$ 및 말랑한 층 ${\mathcal {F}}$ 에 대하여, 제약층 ${\mathcal {F}}|_{U}$ 역시 말랑한 층이다.

기약 공간 위의 상수층은 말랑한 층이다.^[1]^{:67, Exercise 1.16a}

예

다음과 같은 층들은 섬세층을 이룬다.

다양체 $M$ 위의 실수 연속 함수들의 층 ${\mathcal {C}}(M;\mathbb {R} )$
매끄러운 다양체 $M$ 위의 실수 매끄러운 함수들의 층 ${\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )$
매끄러운 다양체 $M$ 위의 $p$ 차 미분 형식들의 층 $\Omega ^{p}(M)$

그러나 복소다양체 위의 정칙 함수들의 층은 섬세층이 아니며, 말랑한 층 또한 아니다. 즉, 임의의 열린집합 위에 정의된 정칙 함수는 공간 전체로 해석적 연속을 하지 못할 수 있다.

드람 코호몰로지의 계산

드람 코호몰로지는 다음과 같이 계산할 수 있다. 매끄러운 다양체 $M$ 위의 상수층 ${\underline {\mathbb {R} }}$ 은 미분 형식의 층으로 다음과 같이 분해된다.

0\to {\underline {\mathbb {R} }}\to \Omega ^{0}(M)\to \Omega ^{1}(M)\to \cdots

미분 형식층들은 섬세층이므로 비순환층이다. 따라서, 드람-베유 정리에 따라서

H^{i}(X;{\underline {\mathbb {R} }})\cong H^{i}(\Omega ^{\bullet }(M))

이 된다. 즉, 드람 코호몰로지는 실수 계수 코호몰로지와 동형이다.

그러나 돌보 코호몰로지를 계산하려면, 복소 미분 형식의 층은 섬세층이 아니며 비순환층도 아니다. 따라서, 드람-베유 정리를 통해 계산할 수 없으며, 이 경우 초코호몰로지(영어: hypercohomology)와 스펙트럼 열을 사용하여야 한다.

같이 보기

각주

↑ ^가 ^나 ^다 Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.
↑ Tennison, B. R. (1975). 《Sheaf theory》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) 20. Cambridge University Press.

외부 링크

“Fine sheaf”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Soft sheaf”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Flabby sheaf”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Fine sheaf”. 《nLab》 (영어). 2015년 2월 25일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 2월 24일에 확인함.
“Soft sheaf”. 《nLab》 (영어). 2015년 2월 25일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 2월 24일에 확인함.
“Flabby sheaf”. 《nLab》 (영어). 2015년 2월 25일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 2월 24일에 확인함.
“Abelian sheaf cohomology”. 《nLab》 (영어). 2015년 2월 27일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 2월 24일에 확인함.
Mathew, Akhil (2011년 6월 10일). “Soft sheaves”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어). 2015년 2월 25일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 2월 25일에 확인함.

[Hartshorne-1] 가 ^나 ^다 Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.

[Tennison-2] Tennison, B. R. (1975). 《Sheaf theory》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) 20. Cambridge University Press.

[1]

[2]