실해석학 에서, 단조 수렴 정리 (單調收斂定理, 영어 : monotone convergence theorem )는 실수 항의 단조 유계 수열 이 항상 수렴 한다는 정리이다.
실수 수열
(
a
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}
이 주어졌다고 하자. 단조 수렴 정리 에 따르면, 만약
(
a
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}
가 증가 수열 이라면 (
a
0
≤
a
1
≤
a
2
≤
⋯
{\displaystyle a_{0}\leq a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots }
), 다음이 성립한다.
lim
n
→
∞
a
n
=
sup
n
≥
0
a
n
∈
(
−
∞
,
∞
]
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\sup _{n\geq 0}a_{n}\in (-\infty ,\infty ]}
마찬가지로, 만약
(
a
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}
가 감소 수열 이라면 (
a
0
≥
a
1
≥
a
2
≥
⋯
{\displaystyle a_{0}\geq a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots }
), 다음이 성립한다.
lim
n
→
∞
a
n
=
inf
n
≥
0
a
n
∈
[
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\inf _{n\geq 0}a_{n}\in [-\infty ,\infty )}
여기서
sup
,
inf
{\displaystyle \sup ,\inf }
는 각각 상한과 하한 을 나타낸다.
이에 따라, 임의의 실수 단조 수열
(
a
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.
(
a
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}
은 (
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
에서) 수렴 한다.
(
a
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}
는 유계 수열 이다.
임의의 실수 증가 수열
(
a
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}
에 대하여, 그 상한 을
L
=
sup
n
≥
0
a
n
∈
(
−
∞
,
∞
]
{\displaystyle L=\sup _{n\geq 0}a_{n}\in (-\infty ,\infty ]}
이라고 하자.
만약
(
a
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}
이 유계 수열 이라면,
L
<
∞
{\displaystyle L<\infty }
이다.
L
{\displaystyle L}
의 정의에 따라, 임의의
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
에 대하여,
a
N
>
L
−
ϵ
{\displaystyle a_{N}>L-\epsilon }
인
N
≥
0
{\displaystyle N\geq 0}
이 존재한다. 따라서, 임의의
n
≥
N
{\displaystyle n\geq N}
에 대하여,
L
−
ϵ
<
a
N
≤
a
n
≤
L
<
L
+
ϵ
{\displaystyle L-\epsilon <a_{N}\leq a_{n}\leq L<L+\epsilon }
이다. 즉,
lim
n
→
∞
a
n
=
L
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L}
이 성립한다.
만약
(
a
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}
이 무계 수열 이라면,
L
=
∞
{\displaystyle L=\infty }
이다. 임의의
M
>
0
{\displaystyle M>0}
에 대하여,
a
N
>
M
{\displaystyle a_{N}>M}
인
N
≥
0
{\displaystyle N\geq 0}
이 존재하며, 임의의
n
≥
N
{\displaystyle n\geq N}
에 대하여
a
n
≥
a
N
>
M
{\displaystyle a_{n}\geq a_{N}>M}
이다. 즉,
lim
n
→
∞
a
n
=
∞
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty }
이 성립한다.
실수 수열
(
a
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}
이 주어졌고, 다음 조건들을 만족시키는 양의 정수
k
>
0
{\displaystyle k>0}
및 연속 함수
f
:
R
k
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} }
이 존재한다고 하자.
임의의
1
≤
i
≤
k
{\displaystyle 1\leq i\leq k}
및
x
1
,
…
,
x
i
,
x
i
′
,
…
,
x
k
,
∈
R
{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{i},x_{i}',\dots ,x_{k},\in \mathbb {R} }
에 대하여, 만약
x
i
<
x
i
′
{\displaystyle x_{i}<x_{i}'}
이라면
f
(
x
1
,
…
,
x
i
,
…
,
x
k
)
<
f
(
x
1
,
…
,
x
i
′
,
…
,
x
k
)
{\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{k})<f(x_{1},\dots ,x_{i}',\dots ,x_{k})}
이다.
임의의
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
에 대하여,
f
(
x
,
…
,
x
)
=
x
{\displaystyle f(x,\dots ,x)=x}
임의의
n
≥
k
{\displaystyle n\geq k}
에 대하여,
f
(
a
n
−
1
,
a
n
−
2
,
…
,
a
n
−
k
)
≤
a
n
{\displaystyle f(a_{n-1},a_{n-2},\dots ,a_{n-k})\leq a_{n}}
그렇다면,
lim
n
→
∞
a
n
=
sup
n
≥
0
min
{
a
n
−
1
,
a
n
−
2
,
…
,
a
n
−
k
}
∈
(
−
∞
,
∞
]
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\sup _{n\geq 0}\min\{a_{n-1},a_{n-2},\dots ,a_{n-k}\}\in (-\infty ,\infty ]}
이다.[ 1] 또한,
(
a
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}
이 수렴할 필요 충분 조건은 유계 수열 이다.