당김 (미분기하학)

미분기하학에서 당김(영어: pullback)이란 한 다양체 위에 정의된 공변(covariant) 텐서를 다른 다양체 위에 옮겨 정의하는 방법이다.

두 매끄러운 다양체 사이의 매끄러운 함수 $\phi \colon M\to N$ 이 주어지면, $N$ 위에 존재하는 모든 공변 텐서 (즉, 첨자가 모두 아랫첨자인 경우) $T=T_{\mu \nu \rho \dots }$ 에 대하여, $M$ 위에 대응하는 텐서 $\phi ^{*}T$ 를 정의할 수 있다. 이를 $T$ 의 당김이라고 한다. 특히, 미분형식이나 (스칼라) 함수는 공변 텐서의 특수한 경우이므로, 이들을 다른 다양체로 당길 수 있다.

정의

$\phi \colon M\to N$ 을 미분가능한 함수라고 하고, $\omega (v_{1},\dots ,v_{k})$ 가 $k$ 차 공변 텐서( $k$ 개의 (반변) 벡터를 받는 함수)라고 하자. 그렇다면 이 데이터로부터 $M$ 위에 정의된 $k$ 차 텐서 $\phi ^{*}\omega$ 를 다음과 같이 정할 수 있다.

(\phi ^{*}\omega )(v_{1},\dots ,v_{k})=\omega _{\phi (p)}(d\phi _{p}(v_{1}),\dots ,d\phi _{p}(v_{k}))

.

여기서 $p\in M$ , $v_{i}\in T_{p}M$ (점 $p$ 에서의 접공간), $d\phi _{p}\colon T_{p}M\to T_{\phi (p)}N$ 은 점 $p$ 에서 $\phi$ 의 미분 사상이다.

(스칼라) 함수는 0차 공변 텐서이다. 이 경우, 함수 $f$ 의 당김은 함수의 합성과 같다. 즉,

\phi ^{*}f=f\circ \phi

이다.

성질

f : Rⁿ → R^m, g : R^p → Rⁿ를 미분가능한 함수, α 와 β를 R^m에서의 k-형식, γ : R^m → R를 R^m에서의 0-형식이라 하자. 이 때, 다음이 성립한다.

$f^{*}(\alpha +\beta )=f^{*}(\alpha )+f^{*}(\beta )\;$
$f^{*}(\gamma \alpha )=f^{*}(\gamma )f^{*}(\alpha )\;$
$f^{*}(\alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k})=f^{*}(\alpha _{1})\wedge \cdots \wedge f^{*}(\alpha _{k})\;$

여기서 α₁, …, α_k 가 R^m에서의 1-형식이고 ∧ 는 쐐기곱이다.

$f^{*}(\alpha \wedge \beta )=f^{*}(\alpha )\wedge f^{*}(\beta )$

여기선 α 와 β 가 같은 계수를 가질 필요는 없다.

$(f\circ g)^{*}\alpha =g^{*}(f^{*}\alpha )$

같이 보기

참고 문헌

Manfredo P. do Carmo (1994). 《Differential Forms and Applications》. Springer-Verlag.