등각 장론

양자장론에서 등각 장론(等角場論, 영어: conformal field theory, 약자 CFT)은 등각 변환에 대하여 대칭적인 장론이다. 임의의 시공간 차원에서 정의할 수 있으나, 2차원 등각 장론의 경우는 특별한 성질을 지닌다. 응집물질물리학과 끈 이론에서 쓰인다.

전개

등각 대칭

 이 부분의 본문은 등각 대칭입니다.

리만 다양체 $(M,g)$의 등각 대칭군 $\operatorname {Conf} (M,g)$은 다음과 같은 리 군이다.

$\operatorname {Conf} (M,g)=\{(f,\phi )\in \operatorname {Diff} (M)\times {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} ^{+})\colon f^{*}g=\phi g\}$

즉, 등각 변환은 등거리변환이 되는, 미분동형사상과 바일 변환의 합성이다.

등각 대칭군의 리 대수는 다음과 같다. 우선 계량 부호수가 $(p,q)$인 $d=p+q$차원 유클리드 공간 ($\mathbb {R} ^{p,q}$)을 생각하자. 만약 $d>2$인 경우, 등각 대칭군은 $SO(p+1,q+1)$을 이룬다. 그 생성자는 다음과 같다.

• $d$개의 시공 평행 이동
• $d(d-1)/2$개의 로런츠 변환
• $1$개의 확대 변환(영어: dilatation)
• $d$개의 특수 등각 변환(영어: special conformal transformation)

특수 등각 변환은 반전(영어: inversion)과 평행 이동을 합성한 것이다. 여기서 반전이란

$I\colon x^{\mu }\mapsto x^{\mu }/x^{2}$

를 말한다. 즉 평행 이동

$T_{a}\colon x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+a^{\mu }$

와 같이 쓰면, 특수 등각 변환은

$S_{a}=I\circ T_{a}\circ I$

의 꼴이다.

2차원 시공의 경우, (국소적) 등각군은 무한차원이다. 이 경우 등각 다양체는 (국소적으로) 리만 곡면 (1차원 복소 다양체)와 동등하고, 등각 변환은 리만 곡면 위의 정칙변환으로 나타난다. (민코프스키 부호수의 경우 윅 회전을 할 수 있다.) 그 대수는 고전적으로는 비트 대수(영어: Witt algebra), 양자화하면 비라소로 대수로 나타난다.

축척 대칭과 등각 대칭

푸앵카레 대칭과 확대 대칭을 따르는 대부분의 이론들은 특수 등각 대칭 또한 따르므로, "축척 불변"(scale invariance)과 "등각 불변"(conformal invariance)을 구분하지 않는 경우가 많다. 그러나 이에 대한 예외도 존재한다.

등각장

등각 장론에서의 장 가운데 일부를 준일차장(準一次場, 영어: quasiprimary field)라 한다. 준일차장은 등각 변환 SO(p+1,q+1)에 대하여 자연스럽게 변화하는 장이다. 등각 장론의 모든 장은 준일차장과 그 도함수의 선형결합으로 나타낼 수 있다. 준일차장들은 축척 변환 $D$에 대한 고윳값인 등각 차원 $\Delta$와, 로런츠 대칭 $\operatorname {SO} (p,q)$의 표현 $l$에 의해 명시된다.

2차원의 경우, 일차장(一次場, 영어: primary field)은 준일차장 가운데 뫼비우스 변환 SO(1,3) 이외에도 임의의 등각 변환에 대하여 자연스럽게 변화하는 장이다. 일차장이 아닌 장은 이차장(二次場, 영어: secondary field)라 부른다.

푸앵카레 대칭에 대한 위그너 분류와 마찬가지로, 등각 대칭의 유니터리 표현들을 분류할 수 있다. $(p,q)=(d-1,1)$일 때, 유니터리 등각 준일차장의 가능한 등각 차원은 다음과 같다.

로런츠 표현	등각 차원의 하한	하한을 포화하는 예
스칼라	$\Delta \geq (d-2)/2$	자유 스칼라장
스피너	$\Delta \geq (d-1)/2$	자유 페르미온
벡터	$\Delta \geq d-1$	뇌터 보존류
$p$차 미분 형식 ($0<p\leq \lfloor d/2\rfloor$)	$\Delta \geq d-p$	전자기장 텐서 ($d=4,p=2$)
완전 대칭 완전 무대각합 $\ell$-텐서 ($\ell \geq 1$)	$\Delta \geq d-2+\ell$	에너지-운동량 텐서 ($\ell =2$)

이들 하한들을 유니터리 하한(영어: unitarity bound)이라고 하며, 이들은 대체로 자유장에 의하여 포화된다.

이들 하한은 게이지 불변 연산자에만 적용된다. 예를 들어, 자유 전자기 퍼텐셜 $A_{\mu }$는 벡터임에도 불구하고 차원이 1이다. 하지만 이는 게이지 불변이 아니며, 게이지 불변 연산자인 전자기 텐서 $F_{\mu \nu }$는 유니터리 하한을 만족시킨다.

$d=2$인 경우, 유니터리 하한은 단순히 $h,{\bar {h}}\geq 0$이다. $d=3$인 경우, 스핀이 $j\in \{0,1/2,1,\dots \}$인 표현의 유니터리 하한은

$\Delta \geq \min\{2j,j+1\}$

이다.^{:(2.42), (2.43), (2.44)} $d=4$인 경우, 스핀이 $(j,{\tilde {\jmath }})$인 표현의 유니터리 하한은

$\Delta \geq j+{\tilde {\jmath }}+1+\min\{1/2,j\}+\min\{1/2,{\tilde {\jmath }}\}$

이다.^{:(2.45), (2.46)}

성질

방사 양자화와 상태-연산자 대응성

등각 다양체로서, $\mathbb {R} ^{d}\setminus \{0\}$과 $S^{n-1}\times \mathbb {R}$은 서로 동치이다. 따라서, 초구 $S^{n-1}$ 위에 정의된 등각 장론은 마치 원점을 제거한 유클리드 공간 위에 정의된 것으로 간주할 수 있다. 즉, 유클리드 공간에서의 직교좌표 $x^{i}\in \mathbb {R} ^{d}$가 주어지면, 원점으로부터의 거리 $r=|x|$를 시간으로 삼아 양자화할 수 있다. 이러한 양자화를 방사 양자화(放射量子化, 영어: radial quantization)라고 하며, 이는 일반적인 차원에서의 등각 장론에서 가능하다.^:100 이에 따라, 일반적인 양자장론에서의 시간 순서(영어: time ordering)와 마찬가지로, 방사 순서(영어: radial ordering) 연산자

$R(A(x)B(y))={\begin{cases}A(x)B(y)&|x|>|y|\\B(y)A(x)&|x|<|y|\\\end{cases}}$

를 정의한다.^:19 모든 상관 함수에서는 암묵적으로 방사 순서 연산자가 포함돼 있다. 즉, 아래에서 좌변과 같이 쓰더라도 암묵적으로 우변을 의미한다.

$\langle 1|O_{1}(z_{1})O_{2}(z_{2})\cdots O_{n}(z_{n})|1\rangle =\langle 1|R\left(O_{1}(z_{1})O_{2}(z_{2})\cdots O_{n}(z_{n})\right)|1\rangle$

또한, 원점에 국소 연산자를 삽입하는 것은 무한한 과거에서의 경계 조건을 결정하는 것과 같으며, 이는 경로 적분을 통해 현재 상태를 결정한다. 이와 반대로, 주어진 상태에 대하여, 이 상태를 만드는 국소 연산자를 정의할 수 있다. 즉, 등각 장론에서는 가능한 상태들과 가능한 국소 연산자들 사이의 일대일 대응이 존재한다. 이를 이를 상태-연산자 대응성(영어: state–operator correspondence)이라고 한다. 이 정의에 따라서, 진공 상태 $|1\rangle$에 대응하는 연산자는 항등 연산자 $1$이다.

특히, 2차원의 경우 좌표는 보통 복소수 $z\in \mathbb {C}$로 나타내게 된다. 이 경우, $C^{\times }=\mathbb {C} \setminus \{0\}$과 $\mathbb {C} /2\pi i\cong S^{1}\times \mathbb {R}$ 사이의 등각 동형사상은 지수함수

$z=\exp w=\exp(t+i\theta )$

로 간편하게 나타내어진다. 이 경우, 원점 $z=0$ ($t=-\infty$)는 무한 과거에 대응하며, 반면 $z={\widehat {\infty }}$ ($t=+\infty$)는 무한 미래에 해당한다.

이에 따라서, 등각 장론의 상태는 원점 근처에서의 데이터로 나타낼 수 있다. 즉, 국소 연산자 $O(z,{\bar {z}})$가 주어지면, 이 연산자를 원점(무한 미래)에 삽입하여, 연산자 $O$에 대응하는 초기 상태(브라) $|O\rangle$를 다음과 같이 정의할 수 있다.

$|O\rangle =\lim _{z,{\bar {z}}\to 0}O(z,{\bar {z}})|1\rangle$

연산자 $O$가 좌표 변환 $f(z)=1/z$에 대하여

$(f^{*}O)(z,{\bar {z}})=p(\partial f,{\bar {\partial }}f)O(f(z),f(z))$

의 꼴로 변환한다고 하면, 연산자 $O$에 대응하는 최종 상태(켓) $\langle O|$는

$\langle O|=\lim _{w,{\bar {w}}\to 0}\langle 1|O(w,w)=\lim _{z,{\bar {z}}\to \infty }\langle 1|{\frac {1}{f(z)}}O(z,{\bar {z}})$

가 된다. 무게가 $(h,{\bar {h}})$인 1차장의 경우

$(f^{*}O)(z,{\bar {z}})=(\partial f)^{h}({\bar {\partial }}{\bar {f}})^{\bar {h}}O(f(z),{\bar {f}}({\bar {z}}))$

의 꼴로 변환하므로,

$\langle O|=\lim _{z,{\bar {z}}\to {\widehat {\infty }}}\langle 1|z^{2h}{\bar {z}}^{2{\bar {h}}}O(z,{\bar {z}})$

이다. 1차장이 아닌 장들(예를 들어, 에너지-운동량 텐서 $T(z,{\bar {z}})$)의 경우 변환 법칙은 더 복잡하다.

상관 함수의 성질

임의의 차원의 등각 장론에서, 2점 및 3점 상관 함수들은 모두 등각 대칭에 의하여 정해진다. 즉, 등각 대칭을 사용하여 임의의 세 점 $x_{1},x_{2},x_{3}\in \mathbb {R} ^{d}$을 각각 $0,e_{1},\infty$로 보낼 수 있다 ($e_{1}=(1,0,0,\dots ,0)$). 다시 말해, 세 개의 점으로는 아무런 등각 불변량을 정의할 수 없다. 반면, 네 개의 점 $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\in \mathbb {R} ^{d}$이 주어지면 비조화비라는 등각 불변량을 정의할 수 있다. 따라서, 등각 대칭은 3점 함수를 완전히 결정시키지만, 4점 함수는 완전히 결정시키지 못한다.

에너지-운동량 텐서

뇌터 정리 및 워드-다카하시 항등식에 따라, 등각 장론의 에너지-운동량 텐서의 대각합은 0이다. 2차원의 경우, 에너지-운동량 텐서를 진동 모드로 전개할 수 있고, 이에 따라 비라소로 대수를 얻는다.

c-정리와 a-정리

 이 부분의 본문은 c-정리입니다.

임의의 2차원 양자 장론에 대하여, c라는 값이 존재한다. 이는

• $c$는 재규격화군 흐름에 따라 항상 감소한다.
• $c$의 재규격화군 부동점 $g_{i}=g_{i}^{*}$에서는 $c(g_{i}^{*},\mu )$는 에너지에 상관없이 일정하다. 또한 이 경우 $c$의 값은 비라소로 대수의 중심원소의 값과 일치한다.

이는 재규격화군에 따라 높은 에너지의 물리가 잊혀지므로 그에 따라 자유도가 감소하는 것으로 해석할 수 있다. 이를 $c$-정리($c$-theorem)으로 일컫는다.

최근 고차원에서도 유사한 정리들이 발견되었다. 예를 들어, 4차원의 경우 2011년에 c와 유사한 a라는 값이 정의되었다.

2차원 등각 장론

 이 부분의 본문은 2차원 등각 장론입니다.

2차원 등각 장론은 다른 차원의 등각 장론과 현저히 다른 현상을 보인다. 특히, 2차원에서는 등각 대칭이 무한 차원 대수인 비라소로 대수로 확장된다.

4차원 등각 장론

4차원 등각 대수

4차원 등각 대수는 $M_{\mu \nu }$ (회전), $P_{\mu }$ (병진), $D$ (확대), $K_{\mu }$ (특수 등각 변환)로 구성된다. 이 가운데 처음 둘은 푸앵카레 대칭을 이룬다. 이들은 다음과 같은 대수를 따른다.^:98

$[D,K_{\mu }]=-iK_{\mu }$

$[D,P_{\mu }]=iP_{\mu }$

$[K_{\mu },P_{\nu }]=2i\eta _{\mu \nu }D-2iM_{\mu \nu }$

$[K_{\mu },M_{\nu \rho }]=i(\eta _{\mu \nu }K_{\rho }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu })$

$[P_{\rho },M_{\mu \nu }]=i(\eta _{\rho \mu }P_{\nu }-\eta _{\rho \nu }P_{\mu })$

$[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i(\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })$

스칼라장의 경우, 이들은 다음과 같이 표현된다.^:98

$M_{\mu \nu }=i(x_{\mu }\partial _{\nu }-x_{\nu }\partial _{\mu })$

$P_{\mu }=-i\partial _{\mu }$

$D=-ix_{\mu }\partial ^{\mu }$

$K_{\mu }=i(x^{2}\partial _{\mu }-2x_{\mu }x_{\nu }\partial ^{\nu })$

생성원	설명	보존량	개수	질량 차원
Mμν	회전과 로런츠 변환	각운동량 $x_{\nu }T_{\mu \rho }-x_{\mu }T_{\nu \rho }$	$d(d-1)/2$	0
Pμ	병진 변환	에너지-운동량 텐서 $T_{\mu \nu }$	$d$	1
D	확대 변환	$x^{\mu }T_{\mu \nu }$:§1.1	1	0
Kμ	특수 등각 변환	$(2x_{\mu }x^{\lambda }-x^{2}\delta _{\mu }^{\lambda })T_{\lambda \nu }$:§1.1	$d$	−1

초등각 게이지 이론

4차원 ${\mathcal {N}}=2$ 초대칭 게이지 이론에서는 재규격화군 베타 함수가 하나의 고리를 가진 파인먼 도형을 통해서만 보정된다. (물론 비섭동적으로 순간자에 의한 보정도 있다.) 따라서, 이 1개 고리 베타 함수의 계수가 0이고, 초퍼텐셜이 0이면 이론이 초등각 대칭을 가지게 된다. 베타 함수가 0일 조건은 각 게이지 군에 필요한 수만큼의 페르미온들이 존재해야 하는 것이다. 이는 다음 표와 같다.

게이지 군	(기본 표현 하이퍼 초다중항) 맛깔의 수
SU(N)	$2N$:§1
USp(2N)	$2N+2$:§4.4:§3.1
SO(N)	$N-2$:§3.1

초등각 화살집 게이지 이론의 경우, 위 표는 D4-막과 NS5-막을 사용한 하나니-위튼 막 만화(영어: Hanany–Witten brane cartoon)으로 설명할 수 있다. 예를 들어, SU(N) 화살집의 경우, 물질 맛깔의 수는 NS5-막에 붙은 D4-막들의 수에 의해 주어지고, 이 경우 베타 함수는 NS5-막들의 휨에 의해 주어진다. 등각 대칭이 유지될 조건은 NS5-막의 양쪽에 같은 수의 D4-막이 붙어 있어, 양쪽으로의 장력이 서로 같아야 하는 조건이다.^{:§2.1, §4.1}

초등각 화살집 게이지 이론들은 가이오토 이중성이라는 이중성들을 보인다. 이는 6차원 (2,0) 초등각 장론 (M5-막의 세계부피 이론)을 리만 곡면에 축소화하여 유도할 수 있다.

예

대표적인 등각 장론으로는 다음이 있다.

• 2차원
  • 최소 모형 — 이들은 완전히 분류된, 2차원 유니터리 유리(rational) 등각 장론들이다.^{:45,97:71–72} 이들은 유한 개의 1차장들을 가지며, 등각 붓스트랩(영어: conformal bootstrap)을 통해 완전히 풀 수 있다. 이들의 중심 원소는

$c=1-{\frac {6(m-n)}{mn}}$ ($m,n$은 서로소 양의 정수)

의 꼴이다. 임계점 근처에서의 이징 모형과 3상태 포츠 모형은 최소 모형의 특수한 경우다.

• • 베스-추미노-위튼 모형은 아핀 리 대수로 정의되는 2차원 등각 장론이다. 이들은 3차원 위상 양자장론의 하나인 천-사이먼스 이론과 관련있다.
  • 리우빌 장론은 2차원 무리(irrational) 등각 장론이며, 하나의 딜라톤을 포함하는 2차원 양자 중력을 나타낸다. 행렬 이론과 관계있다.
  • (초)끈 이론에서, 기본 끈 위에 존재하는 세계면 이론은 2차원 (초)등각 장론이다.
• 3차원
  • M2-막 위에 존재하는 이론으로 여겨지는 ABJM 이론은 3차원 초등각 장론이다.
• 4차원
  • 4차원 ${\mathcal {N}}=4$ 초대칭 양-밀스 이론은 초등각 장론이다. 이는 IIB종 초끈 이론에서 D3-막의 세계부피 이론이며, SL(2,ℤ) S-이중성을 가진다. 이는 AdS/CFT 대응성의 원래 예이다.
• 6차원
  • M5-막 위에 존재하는 세계면 이론은 6차원 (2,0) 초등각 장론이다.

응용

끈 이론

 이 부분의 본문은 끈 이론입니다.

등각 장론은 끈 이론에서 중요하게 쓰인다. 끈의 세계면은 2차원이므로, 그 세계면 위에서는 2차원 장론이 존재한다. 이론의 일관성을 위하여 이 장론은 2차원 등각 장론이어야 한다. (초끈의 경우 이론은 2차원 𝒩=1 초등각 장론이 된다.) 이 장론의 등각 변칙이 시공의 차원을 26차원 (보존 이론) 또는 10차원 (초대칭 이론)으로 정한다. 또한, AdS/CFT 대응성에 따르면 특수한 경우 중력은 (3차원 또는 4차원 등의) 등각 장론과 같다. 따라서 ${\mathcal {N}}=4$ 양-밀스 이론 등과 같은 등각 장론이 중요한 역할을 한다.

통계역학

등각 장론은 통계역학에서 침투(percolation) 현상 및 일반적인 임계 현상을 다루는 데 응용된다.

비입자

하워드 조자이는 실제 세계에서, 4차원 등각 장론을 따르는 입자들이 표준 모형 입자와 공존할 수 있다는 가능성을 제기하였다. 이 경우, 등각 장론을 따르는 장들은 통상적인 입자를 이루지 않으므로, 이러한 물질을 비입자(非粒子, 영어: unparticle)라고 한다.

역사

등각 장론은 1984년에 알렉산드르 아브라모비치 벨라빈(러시아어: Алекса́ндр Абрамо́вич Бела́вин)과 알렉산드르 마르코비치 폴랴코프, 알렉산드르 자몰롯치코프가 제창하였다.

외부 링크

• “Conformal field theory”. 《nLab》 (영어). 2015년 3월 24일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 3월 24일에 확인함. 
• “Conformal field theory in four and six dimensions”. 《nLab》 (영어). 

같이 보기

• 등각 사상
• 임계 현상
• 초등각 장론
• 2차원 등각 장론
• 2차원 𝒩=1 초등각 장론
• 2차원 𝒩=2 초등각 장론
• 베스-추미노-위튼 모형
• 아핀 리 대수
• 끈 이론
• AdS/CFT 대응성