라이스너-노르드스트룀 계량

일반 상대론 중력방정식의 구면대칭인 전하를 띤 해

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라이스너-노르드스트룀 계량(영어: Reissner–Nordström metric, RN)은 구면대칭 전하에 대한 아인슈타인 방정식의 해다.

정의

편의상 $c=1$ 로 놓자. 라이스너-노르드스트룀 계량은 다음과 같다.

ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}+{\frac {GQ^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}\right)dt^{2}+\left(1-{\frac {2GM}{r}}+{\frac {GQ^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}

A_{t}={\frac {Q}{4\pi \epsilon _{0}r}}

여기서

d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}

이고, $M$ 은 블랙홀의 질량, $Q$ 는 블랙홀의 전하이다. 전하가 0일 경우 RN 계량은 슈바르츠실트 계량이 된다.

성질

RN 계량에서는 두 개의 지평선이 존재한다. 좌표로 쓰면

r_{\pm }=GM\pm {\sqrt {G^{2}M^{2}-GQ^{2}/4\pi \epsilon _{0}}}

이다. 겉의 것은 사건 지평선이고, 안의 것은 코시 지평선이다. 전하가

|Q|={\sqrt {4\pi \epsilon _{0}G}}M

일 때, 두 개의 지평선은 겹친다. 이 경우를 극대 블랙홀이라 한다. 이는

|Q|/M={\sqrt {4\pi \epsilon _{0}G}}=24.3\;\mathrm {pC/kg} =152\,e/\mathrm {mg}

일 경우이다.

$|Q|>{\sqrt {4\pi \epsilon _{0}G}}M$ 이면 시공간에 벌거숭이 특이점이 발생한다. 로저 펜로즈의 우주 검열 가설에 따르면, 이러한 블랙홀은 자연계에 존재하지 않는 것으로 여겨진다.

고차원 라이스너-노르드스트룀 계량

편의상 $1=c=\epsilon _{0}=8\pi G$ 로 놓자. 임의의 $d>3$ 차원의 민코프스키 공간 속에서 라이스너-노르드스트룀 계량이 존재한다. 그 계량은 다음과 같다.^[1]^:265

ds^{2}=-H(r)^{-2}W(r)dt^{2}+H^{2/(d-3)}\left(W(r)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega _{(d-2)}^{2}\right)

A_{0}(r)=\alpha (H^{-1}(r)-1)

H(r)=1-{\frac {\omega }{\left(1-{\frac {d-3}{2(d-2)\alpha ^{2}}}\right)r^{d-3}}}

W(r)=1-\omega /r^{d-3}

여기서 상수 $h$ , $\alpha$ , $\omega$ 는 블랙홀의 질량 $M$ 및 전하 $Q$ 와 다음과 같은 관계를 갖는다.

\alpha ={\frac {1}{(d-3)\operatorname {vol} (S^{d-2})}}{\frac {Q}{(d-2)\operatorname {vol} (S^{d-2})M+\omega /2}}

\omega ={\frac {1}{(d-2)\operatorname {vol} (S^{d-2})}}{\sqrt {M^{2}-{\frac {d-2}{d-3}}Q^{2}}}

여기서

\operatorname {vol} (S^{d-2})={\frac {(d+1)\pi ^{(d+1)/2}}{\Gamma ((d+3)/2)}}

은 $d-2$ 차원 단위 초구의 넓이다.

고차원 라이스터-노르드스트룀 해의 사건 지평선은

r={\sqrt[{d-3}]{\omega }}

에 위치한다. 벌거숭이 특이점이 아닐 조건은 다음과 같다.^[1]^:(8.228)

|Q|/M\leq {\sqrt {8\pi G\epsilon _{0}\cdot {\frac {d-3}{d-2}}}}

역사

슈바르츠실트 계량이 발견된 직후에 독일의 항공우주공학자 한스 야코프 라이스너(독일어: Hans Jacob Reissner)와 핀란드의 물리학자 군나르 노르드스트룀, 독일의 수학자 헤르만 바일^[2], 영국의 수리물리학자 조지 바커 제프리^[3]가 각각 독립적으로 발견하였다.

각주

↑ ^가 ^나 Ortín, Tomás (2004). 《Gravity and Strings》 (영어). Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511616563. ISBN 9780521824750.
↑ Weyl, H. (1917). “Zur Gravitationstheorie”. 《Annalen der Physik》 (독일어) 54 (18): 117–145. Bibcode:1917AnP...359..117W. doi:10.1002/andp.19173591804.
↑ Jeffery, G. B. (1921). “The field of an electron on Einstein's theory of gravitation”. 《Proc. R. Soc. Lond. A》 99 (697): 123–134. Bibcode:1921RSPSA..99..123J. doi:10.1098/rspa.1921.0028.

같이 보기

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