렌즈 공간

위상수학에서 렌즈 공간(영어: lens space)은 일련의 3차원 위상다양체들이다.

정의

$p,q$가 서로소 양의 정수라고 하자. 3차원 초구 $S^{3}$를 $S^{3}\subset \mathbb {C} ^{2}$로 간주하자. 그렇다면 $S^{3}$ 위에 다음과 같은 $\mathbb {Z} /p$ 작용을 정의할 수 있다.

$[1]\in \mathbb {Z} /p\colon (z_{1},z_{2})\mapsto (\exp(2\pi i/p)z_{1},\exp(2\pi iq/p)z_{2})$

이 작용에 대한 몫공간

$S^{3}/(\mathbb {Z} /p)$

을 렌즈 공간 $L(p,q)$라고 한다.

성질

렌즈 공간 $L(p,q)$는 3차원 (경계가 없는) 위상다양체이며, 모두 자이페르트 다양체(영어: Seifert manifold)의 특수한 경우다.

정의에 따라, 렌즈 공간 $L(p,q)$의 기본군은

$\pi _{1}(L(p,q))=\mathbb {Z} /p$

이다.

분류

두 렌즈 공간 $L(p,q)$, $L(p',q')$이 호모토피 동치일 필요충분조건은 다음과 같다.

어떤 정수 $n$이 존재하여,

$q_{1}q_{2}\equiv -n^{2}{\pmod {p}}$

두 렌즈 공간 $L(p,q)$, $L(p',q')$이 위상동형일 필요충분조건은 다음과 같다.

$q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}$

외부 링크

• Chernavskii, A.V. (2001). “Lens space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Lens spaces”. 《The Manifold Atlas》 (영어). 
• “Lens spaces: a history”. 《The Manifold Atlas》 (영어). 
• “Fake lens spaces”. 《The Manifold Atlas》 (영어).