실해석학 에서 로피탈의 정리 (영어 : l'Hôpital's rule, l'Hospital's rule ) 또는 로피탈의 법칙 또는 베르누이 의 규칙영어 : Bernoulli's rule )[ 1] 도함수 를 통해 부정형 의 극한 을 구하는 정리이다.
h (x ) = f (x ) /g (x )x = 0h (0) =f′ (0)/g′ (0)
확장된 실수
a
,
L
∈
R
∪
{
−
∞
,
∞
}
{\displaystyle a,L\in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}}
함수
f
,
g
:
I
→
R
{\displaystyle f,g\colon I\to \mathbb {R} }
I
{\displaystyle I}
a
≠
±
∞
{\displaystyle a\neq \pm \infty }
a
{\displaystyle a}
a
=
±
∞
{\displaystyle a=\pm \infty }
a
{\displaystyle a}
f
,
g
{\displaystyle f,g}
근방
I
∖
{
a
}
{\displaystyle I\setminus \{a\}}
미분 가능 함수 이다.다음 둘 가운데 하나가 성립한다.
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
lim
x
→
a
g
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}g(x)=0}
lim
x
→
a
|
f
(
x
)
|
=
lim
x
→
a
|
g
(
x
)
|
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to a}|f(x)|=\lim _{x\to a}|g(x)|=\infty }
lim
x
→
a
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L}
그렇다면, 다음이 성립한다.
lim
x
→
a
f
(
x
)
g
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L}
우선
a
≠
±
∞
{\displaystyle a\neq \pm \infty }
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
lim
x
→
a
g
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}g(x)=0}
f
(
a
)
=
g
(
a
)
=
0
{\displaystyle f(a)=g(a)=0}
f
,
g
{\displaystyle f,g}
I
{\displaystyle I}
I
∖
{
a
}
{\displaystyle I\setminus \{a\}}
코시 평균값 정리 에 따라, 다음이 성립한다.
lim
x
→
a
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
a
f
(
x
)
−
f
(
a
)
g
(
x
)
−
g
(
a
)
=
lim
ξ
x
→
a
f
′
(
ξ
x
)
g
′
(
ξ
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}}=\lim _{\xi _{x}\to a}{\frac {f'(\xi _{x})}{g'(\xi _{x})}}=L}
이제
a
≠
±
∞
{\displaystyle a\neq \pm \infty }
lim
x
→
a
|
f
(
x
)
|
=
lim
x
→
a
|
g
(
x
)
|
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to a}|f(x)|=\lim _{x\to a}|g(x)|=\infty }
L
≠
±
∞
{\displaystyle L\neq \pm \infty }
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
(
a
,
b
)
⊆
I
{\displaystyle (a,b)\subseteq I}
L
−
ϵ
<
f
′
(
ξ
)
g
′
(
ξ
)
<
L
+
ϵ
(
ξ
∈
(
a
,
b
)
)
{\displaystyle L-\epsilon <{\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}<L+\epsilon \qquad (\xi \in (a,b))}
코시 평균값 정리에 따라, 임의의
x
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle x\in (a,b)}
ξ
x
∈
(
x
,
b
)
{\displaystyle \xi _{x}\in (x,b)}
f
′
(
ξ
x
)
g
′
(
ξ
x
)
=
f
(
x
)
−
f
(
b
)
g
(
x
)
−
g
(
b
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
−
f
(
b
)
g
(
x
)
1
−
g
(
b
)
g
(
x
)
{\displaystyle {\frac {f'(\xi _{x})}{g'(\xi _{x})}}={\frac {f(x)-f(b)}{g(x)-g(b)}}={\frac {{\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {f(b)}{g(x)}}}{1-{\frac {g(b)}{g(x)}}}}}
즉,
f
(
x
)
g
(
x
)
=
f
′
(
ξ
x
)
g
′
(
ξ
x
)
(
1
−
g
(
b
)
g
(
x
)
)
+
f
(
b
)
g
(
x
)
{\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f'(\xi _{x})}{g'(\xi _{x})}}\left(1-{\frac {g(b)}{g(x)}}\right)+{\frac {f(b)}{g(x)}}}
이 경우,
lim
x
→
a
|
g
(
x
)
|
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to \ a}|g(x)|=\infty }
(
a
,
b
′
)
⊆
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b')\subseteq (a,b)}
f
(
x
)
g
(
x
)
<
(
L
+
ϵ
)
(
1
−
g
(
b
)
g
(
x
)
)
+
f
(
b
)
g
(
x
)
<
L
+
2
ϵ
(
x
∈
(
a
,
b
′
)
)
{\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}<(L+\epsilon )\left(1-{\frac {g(b)}{g(x)}}\right)+{\frac {f(b)}{g(x)}}<L+2\epsilon \qquad (x\in (a,b'))}
f
(
x
)
g
(
x
)
>
(
L
−
ϵ
)
(
1
−
g
(
b
)
g
(
x
)
)
+
f
(
b
)
g
(
x
)
>
L
−
2
ϵ
(
x
∈
(
a
,
b
′
)
)
{\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}>(L-\epsilon )\left(1-{\frac {g(b)}{g(x)}}\right)+{\frac {f(b)}{g(x)}}>L-2\epsilon \qquad (x\in (a,b'))}
이에 따라,
lim
x
→
a
+
f
(
x
)
g
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L}
lim
x
→
a
−
f
(
x
)
g
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L}
마찬가지로,
a
≠
±
∞
{\displaystyle a\neq \pm \infty }
lim
x
→
a
|
f
(
x
)
|
=
lim
x
→
a
|
g
(
x
)
|
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to a}|f(x)|=\lim _{x\to a}|g(x)|=\infty }
L
=
±
∞
{\displaystyle L=\pm \infty }
마지막으로,
a
=
∞
{\displaystyle a=\infty }
lim
x
→
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
t
→
0
+
f
(
1
t
)
g
(
1
t
)
=
lim
t
→
0
+
f
′
(
1
t
)
⋅
(
−
1
t
2
)
g
′
(
1
t
)
⋅
(
−
1
t
2
)
=
lim
x
→
∞
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{t\to 0^{+}}{\frac {f({\frac {1}{t}})}{g({\frac {1}{t}})}}=\lim _{t\to 0^{+}}{\frac {f'({\frac {1}{t}})\cdot (-{\frac {1}{t^{2}}})}{g'({\frac {1}{t}})\cdot (-{\frac {1}{t^{2}}})}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L}
마찬가지로,
a
=
−
∞
{\displaystyle a=-\infty }
lim
x
→
0
sin
x
x
=
lim
x
→
0
cos
x
1
=
cos
0
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x}{1}}=\cos 0=1}
lim
x
→
0
a
x
−
1
x
=
lim
x
→
0
a
x
ln
a
1
=
ln
a
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {a^{x}-1}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {a^{x}\ln a}{1}}=\ln a}
lim
x
→
0
x
−
sin
x
x
3
=
lim
x
→
0
1
−
cos
x
3
x
2
=
lim
x
→
0
sin
x
6
x
=
1
6
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x-\sin x}{x^{3}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{3x^{2}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{6x}}={\frac {1}{6}}}
lim
x
→
∞
x
(
π
2
−
arctan
x
)
=
lim
x
→
∞
π
2
−
arctan
x
1
x
=
lim
x
→
∞
−
1
1
+
x
2
−
1
x
2
=
lim
x
→
∞
x
2
1
+
x
2
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x\left({\frac {\pi }{2}}-\arctan x\right)=\lim _{x\to \infty }{\frac {{\frac {\pi }{2}}-\arctan x}{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {-{\frac {1}{1+x^{2}}}}{-{\frac {1}{x^{2}}}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}=1}
lim
x
→
∞
ln
x
x
=
lim
x
→
∞
1
x
1
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\ln x}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\frac {1}{x}}{1}}=0}
lim
x
→
∞
x
2
e
x
=
lim
x
→
∞
2
x
e
x
=
lim
x
→
∞
2
e
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {2x}{e^{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {2}{e^{x}}}=0}
lim
x
→
0
+
x
ln
x
=
lim
x
→
0
+
ln
x
1
x
=
lim
x
→
0
+
1
x
−
1
x
2
=
lim
x
→
0
+
(
−
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\ln x=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\ln x}{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\frac {1}{x}}{-{\frac {1}{x^{2}}}}}=\lim _{x\to 0^{+}}(-x)=0}
lim
x
→
0
+
x
x
=
lim
x
→
0
+
e
x
ln
x
=
e
0
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{x\ln x}=e^{0}=1}
lim
x
→
0
(
1
sin
x
−
1
x
)
=
lim
x
→
0
x
−
sin
x
x
sin
x
=
lim
x
→
0
x
−
sin
x
x
2
=
lim
x
→
0
1
−
cos
x
2
x
=
lim
x
→
0
sin
x
2
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {1}{\sin x}}-{\frac {1}{x}}\right)=\lim _{x\to 0}{\frac {x-\sin x}{x\sin x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {x-\sin x}{x^{2}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{2x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{2}}=0}
lim
x
→
∞
x
1
x
=
lim
x
→
∞
e
ln
x
x
=
e
0
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{\frac {1}{x}}=\lim _{x\to \infty }e^{\frac {\ln x}{x}}=e^{0}=1}
lim
x
→
0
+
(
cot
x
)
1
ln
x
=
lim
x
→
0
+
e
ln
cot
x
ln
x
=
lim
x
→
0
+
e
−
tan
x
−
cot
x
1
/
x
=
lim
x
→
0
+
e
−
x
sin
x
cos
x
=
e
−
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}(\cot x)^{\frac {1}{\ln x}}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{\frac {\ln \cot x}{\ln x}}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{\frac {-\tan x-\cot x}{1/x}}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{-{\frac {x}{\sin x\cos x}}}=e^{-1}}
로피탈의 정리를 적용하기 위해서는 다음 조건을 만족해야 한다:
부정형이
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0}
±
∞
{\displaystyle \pm \infty }
함수 미분 가능성:
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
c
{\displaystyle c}
구간
I
{\displaystyle {\mathcal {I}}}
미분 가능 하다
열린 구간
I
{\displaystyle {\mathcal {I}}}
x
{\displaystyle x}
g
′
(
x
)
≠
0
{\displaystyle g'(x)\neq 0}
x
≠
c
{\displaystyle x\neq c}
도함수 비의 극한
lim
x
→
c
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
만약 이 조건 중 하나라도 성립하지 않는다면 유효하지 않아 로피탈의 정리를 적용할 수 없다.
다음과 같은 전제 조건은 로피탈의 정리에서 제거할 수 없다.
lim
x
→
a
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
=
L
∈
R
∪
{
−
∞
,
∞
}
{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L\in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}}
즉, 이러한 도함수의 비의 극한이 확장된 실수로서 존재하지 않을 경우, 로피탈의 정리는 당연히 효력을 잃는다. 그러나 이 경우에도, 원래 함수의 비의 극한은 확장된 실수로서 존재할 수 있다. 예를 들어,
lim
x
→
∞
(
x
+
sin
x
)
′
x
′
=
lim
x
→
∞
1
+
cos
x
1
∈
∅
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {(x+\sin x)'}{x'}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {1+\cos x}{1}}\in \varnothing }
이지만, (여기서
∈
∅
{\displaystyle \in \varnothing }
lim
x
→
∞
x
+
sin
x
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x+\sin x}{x}}=1}
이다. 또한, 도함수의 비의 극한이 존재하는지와 상관 없이, 만약 남은 전제 조건들을 모두 만족시킨다면, 다음이 성립한다.
lim inf
x
→
a
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
≤
lim inf
x
→
a
f
(
x
)
g
(
x
)
≤
lim sup
x
→
a
f
(
x
)
g
(
x
)
≤
lim sup
x
→
a
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle \liminf _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\leq \liminf _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}\leq \limsup _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}\leq \limsup _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
만약
g
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle g'(x)=0}
x
{\displaystyle x}
x
→
∞
{\displaystyle x\to \infty }
0
=
g
′
(
x
0
)
=
g
′
(
x
1
)
=
⋯
{\displaystyle 0=g'(x_{0})=g'(x_{1})=\cdots }
x
n
→
∞
{\displaystyle x_{n}\to \infty }
f
′
/
g
′
{\displaystyle f'/g'}
(
b
,
∞
)
{\displaystyle (b,\infty )}
∞
{\displaystyle \infty }
g
′
{\displaystyle g'}
lim
x
→
∞
(
x
+
sin
x
cos
x
)
′
(
e
sin
x
(
x
+
sin
x
cos
x
)
)
′
=
lim
x
→
∞
2
cos
2
x
cos
x
e
sin
x
(
2
cos
x
+
x
+
sin
x
cos
x
)
=
lim
x
→
∞
2
cos
x
e
sin
x
(
2
cos
x
+
x
+
sin
x
cos
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {(x+\sin x\cos x)'}{(e^{\sin x}(x+\sin x\cos x))'}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {2\cos ^{2}x}{\cos xe^{\sin x}(2\cos x+x+\sin x\cos x)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {2\cos x}{e^{\sin x}(2\cos x+x+\sin x\cos x)}}=0}
lim
x
→
∞
x
+
sin
x
cos
x
e
sin
x
(
x
+
sin
x
cos
x
)
=
lim
x
→
∞
e
−
sin
x
∈
∅
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x+\sin x\cos x}{e^{\sin x}(x+\sin x\cos x)}}=\lim _{x\to \infty }e^{-\sin x}\in \varnothing }
복소변수 함수의 경우 일반적인 로피탈의 정리를 적용할 수 없다. 예를 들어
0
<
x
<
1
{\displaystyle 0<x<1}
f
(
x
)
=
x
,
g
(
x
)
=
x
+
x
2
e
i
/
x
2
{\displaystyle f(x)=x,g(x)=x+x^{2}e^{i/x^{2}}}
|
e
i
t
|
=
1
{\displaystyle |e^{it}|=1}
lim
x
→
0
f
(
x
)
g
(
x
)
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1}
가 되지만,
g
′
(
x
)
=
1
+
(
2
x
−
2
i
x
)
e
i
/
x
2
{\displaystyle g'(x)=1+\left(2x-{\frac {2i}{x}}\right)e^{i/x^{2}}}
이므로
|
g
′
(
x
)
|
≥
|
2
x
−
2
i
x
|
−
1
≥
2
x
−
1
{\displaystyle |g'(x)|\geq \left|2x-{\frac {2i}{x}}\right|-1\geq {\frac {2}{x}}-1}
삼각 부등식 )이므로
|
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
|
=
|
1
g
′
(
x
)
|
≤
x
2
−
x
{\displaystyle \left|{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\right|=\left|{\frac {1}{g'(x)}}\right|\leq {\frac {x}{2-x}}}
가 되어 x 를 0으로 보내는 값은 0이 된다.[ 2] :112-113
복소변수 함수의 경우 로피탈의 정리가 적용 가능하기 위해서는 f'와 g'의 값이 존재해야 한다는 강한 조건을 만족해야 한다. 즉, 복소변수 함수에서 성립하는 로피탈의 정리는 다음과 같다.[ 3]
복소함수 f와 g가 a에서 해석적 이라 하자. f(a) = 0 = g(a)이지만 g'(a) ≠ 0, 또는 f(a) = ±∞ = g(a)이면, 다음이 성립한다.
lim
z
→
a
f
(
z
)
g
(
z
)
=
f
′
(
a
)
g
′
(
a
)
.
{\displaystyle \lim _{z\to a}{\frac {f(z)}{g(z)}}={\frac {f'(a)}{g'(a)}}.}
일반적인 함수의 극한 계산에 이용되는 로피탈의 정리와 달리, 수열 의 극한 계산에만 사용되는 로피탈의 정리의 유사 형태로 슈톨츠-체사로 정리가 있다.
정리의 이름은 17세기 에 활동하였던 프랑스 의 수학자 이자 후작 인 기욤 드 로피탈 의 이름에서 유래되었다. 그는 저서 《곡선을 이해하기 위한 무한소 해석》(l'Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes )에서 이 정리를 소개하였다.
이 부분의 본문은 슈톨츠-체사로 정리입니다.