다음 두 조건을 증명하면, 모든 가해 아이디얼들의 합이 근기가 되므로, 근기가 (자명하게) 존재하게 된다.
- ㈎ 의 두 가해 아이디얼의 합은 가해 아이디얼이다.
- ㈏ 의 임의의 부분 가군들의 족 에 대하여, 가 되는 유한 집합 가 존재한다.
㈎의 증명:
의 두 가해 아이디얼이 주어졌다고 하자.
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그렇다면, 는 역시 의 아이디얼이다.
또한, 가해 리 대수의 몫과, 가해 리 대수의 가해 리 대수에 대한 확대는 역시 가해 리 대수이다.
짧은 완전열
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에 의하여, 는 가해 리 대수 의 몫 의, 가해 리 대수 에 대한 확대이므로, 역시 가해 리 대수이다.
㈏의 증명:
의 -부분 가군들의 족
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이 주어졌다고 하자. 귀류법을 사용하여, 임의의 유한 부분 집합
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에 대하여
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라고 가정하자.
그렇다면, 선택 공리를 사용하여, 의 원소들의 열 을 다음과 같이 재귀적으로 고르자.
- 임의의 에 대하여, 귀류법 가정에 따라 이므로, 이다. 선택 공리를 사용하여, 를 임의로 고른다.
그렇다면, 구성에 따라
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이다. 이는 가 뇌터 가군이라는 가정에 모순된다.