리 대수 이론에서, 반직접합 (半直接合, 영어 : semidirect sum )은 두 리 대수의 직합 위에 정의되는 리 대수 구조이다. 이는 리 군 의 반직접곱 의 무한소 형태로 생각할 수 있다. 추상적으로, 리 대수의 범주는 아벨 범주 를 이루지 못하므로, 직합이 아닌 반직접합이 존재한다.
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
가환환
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
리 대수
n
{\displaystyle {\mathfrak {n}}}
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
리 대수 준동형
ψ
:
h
→
d
e
r
(
n
)
{\displaystyle \psi \colon {\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {der}}({\mathfrak {n}})}
여기서
d
e
r
(
−
)
{\displaystyle {\mathfrak {der}}(-)}
미분 리 대수 이다. 그렇다면,
K
{\displaystyle K}
가군
n
⊕
K
h
{\displaystyle {\mathfrak {n}}\oplus _{K}{\mathfrak {h}}}
[
h
,
n
]
=
ψ
(
h
)
n
∀
h
∈
h
,
n
∈
n
{\displaystyle [h,n]=\psi (h)n\qquad \forall h\in {\mathfrak {h}},\;n\in {\mathfrak {n}}}
[
h
,
h
′
]
=
[
h
,
h
′
]
h
∀
h
,
h
′
∈
h
{\displaystyle [h,h']=[h,h']_{\mathfrak {h}}\qquad \forall h,h'\in {\mathfrak {h}}}
[
n
,
n
′
]
=
[
n
,
n
′
]
n
∀
n
,
n
′
∈
n
{\displaystyle [n,n']=[n,n']_{\mathfrak {n}}\qquad \forall n,n'\in {\mathfrak {n}}}
이를
n
{\displaystyle {\mathfrak {n}}}
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
ψ
{\displaystyle \psi }
반직접합 이라고 하며,
n
⊕
ψ
h
{\displaystyle {\mathfrak {n}}\oplus _{\psi }{\mathfrak {h}}}
ψ
{\displaystyle \psi }
상수 함수 0이라면, 이는 리 대수의 직합 과 같다.
군의 반직접곱 과 마찬가지로, 리 대수의 반직접합에 대하여 분할 완전열
0
→
n
→
n
⊕
ψ
h
→
h
→
0
{\displaystyle 0\to {\mathfrak {n}}\to {\mathfrak {n}}\oplus _{\psi }{\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {h}}\to 0}
이 존재한다. 즉,
n
{\displaystyle {\mathfrak {n}}}
h
⊕
ψ
n
{\displaystyle {\mathfrak {h}}\oplus _{\psi }{\mathfrak {n}}}
리 대수 아이디얼 을 이룬다.
반대로, 리 대수의 짧은 완전열
0
→
n
→
g
→
π
h
→
0
{\displaystyle 0\to {\mathfrak {n}}\to {\mathfrak {g}}\,{\overset {\pi }{\to }}\,{\mathfrak {h}}\to 0}
가 주어졌을 때, 만약 이 완전열이 오른쪽 분할 완전열이라면 (즉,
π
∘
σ
=
id
h
{\displaystyle \pi \circ \sigma =\operatorname {id} _{\mathfrak {h}}}
리 대수 준동형
σ
:
h
→
g
{\displaystyle \sigma \colon {\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {g}}}
g
=
n
⊕
ψ
h
{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {n}}\oplus _{\psi }{\mathfrak {h}}}
로 표현할 수 있다.
두 리 군
H
{\displaystyle H}
N
{\displaystyle N}
H
{\displaystyle H}
N
{\displaystyle N}
매끄럽게 작용 한다고 하자.
H
×
N
→
N
{\displaystyle H\times N\to N}
이는 자연스럽게 리 대수 준동형
ψ
:
l
i
e
(
H
)
→
d
e
r
(
l
i
e
(
N
)
)
{\displaystyle \psi \colon {\mathfrak {lie}}(H)\to {\mathfrak {der}}({\mathfrak {lie}}(N))}
을 정의한다.
그렇다면, 이를 통해 반직접곱 리 군
N
⋊
H
{\displaystyle N\rtimes H}
l
i
e
(
H
)
⊕
ψ
l
i
e
(
N
)
≅
l
i
e
(
N
⋊
H
)
{\displaystyle {\mathfrak {lie}}(H)\oplus _{\psi }{\mathfrak {lie}}(N)\cong {\mathfrak {lie}}(N\rtimes H)}
즉, 반직접곱 의 리 대수 는 리 대수의 반직접합이다.
![{\displaystyle [h,n]=\psi (h)n\qquad \forall h\in {\mathfrak {h}},\;n\in {\mathfrak {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/307b24a34430f1f68a4f346a126040b09bbca6f5)
![{\displaystyle [h,h']=[h,h']_{\mathfrak {h}}\qquad \forall h,h'\in {\mathfrak {h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff7099960d86430525d13e9980e6202bfef0f943)
![{\displaystyle [n,n']=[n,n']_{\mathfrak {n}}\qquad \forall n,n'\in {\mathfrak {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1c201557adcf9929efd3940bef496655f852696)
