위상수학에서 올다발(미국 영어: fiber bundle, 영국 영어: fibre bundle)은 국소적으로 두 공간의 곱집합처럼 보이는 위상 공간이다. 전체적(globally)으로는 위상적으로 단순한 곱집합과 위상동형이 아니라 더 복잡한 위상구조를 가지고 있을 수 있다. 다발 이론은 대수적 불변량을 통해 주어진 올다발이 어떤 위상구조를 가지는지 다룬다.

정의

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 가 세 개의 위상 공간이라고 하자. 대략,  의 모든 점 근처의 근방 의 꼴이라면  밑공간(base space)   위에 놓인, 올공간(fiber space)이  올다발이라고 한다.

엄밀히 말해, 올다발  는 다음과 같은 데이터로 이루어져 있다.  ,  ,  는 위상 공간이며,

 

는 올다발에서 밑공간으로 사영하는 연속적인 전사 함수다. 이 데이터가 올다발을 이루기 위해서는 임의의 점  에 대하여,   위상동형근방  가 존재하여야 한다. 뿐만 아니라,  가 사영 함수  와 (위상 동형 아래) 같아야 한다.

다발 사상

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같은 밑공간 위의 두 올다발

 

이 주어졌다고 하자.  에서  로 가는 다발 사상(-寫像, 영어: bundle map)  

 

를 만족시키는 연속 함수이다. 즉, 다음 그림이 가환하여야 한다.

 

자명한 다발

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올다발의 가장 간단한 예는  인 경우다. 이 때  는 단순히 사영 함수다. 이러한 경우를 자명한 다발(trivial bundle)이라고 한다.

벡터 다발

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올다발의 대표적인 예는 벡터 다발이다. 이는 올다발의 올공간이 벡터 공간인 경우로, 리만 다양체접다발공변접다발이 대표적인 예이다. 1차원 벡터 다발은 선다발이라고 한다.

주다발

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주다발은 올공간이 을 이루는 경우로, 미분위상수학미분기하학에서 중요한 역할을 하며 또한 게이지 이론에 핵심적인 개념이다.

피복 공간

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올공간이  개의 점으로 구성된 이산 공간인 올공간은  피복 공간이라고 한다.

기타 올다발

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이 밖에도, 올이 다른 임의의 위상 공간을 이룰 수 있다. 예를 들어, 호프 다발은 그 올이 인 경우다.

참고 문헌

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  • Steenrod, Norman (1951). 《The topology of fibre bundles》. Princeton Mathematical Series (영어) 14. Princeton: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00548-5. MR 0039258. Zbl 0942.55002. 
  • Bleecker, David (1981), 《Gauge Theory and Variational Principles》, Reading, Mass: Addison-Wesley publishing, ISBN 0-201-10096-7 
  • Ehresmann, C. 〈Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable〉. 《Colloque de Topologie (Espaces fibrés), Bruxelles, 1950》. Georges Thone, Liège; Masson et Cie., Paris, 1951. 29–55쪽. 
  • Husemöller, Dale (1994), 《Fibre Bundles》, Springer Verlag, ISBN 0-387-94087-1 
  • Michor, Peter W. (2008), 《Topics in Differential Geometry》, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 93, Providence: American Mathematical Society  (to appear).
  • Voitsekhovskii, M.I. (2001). “Fibre space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 

외부 링크

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같이 보기

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