메르카토르 도법

메르카토르 도법(Mercator projection) 또는 점장도법은 1569년 네덜란드의 게르하르두스 메르카토르가 발표한 지도 투영법으로서 벽지도에 많이 사용하는 대표적 도법이다. 원통중심도법과 원통정적도법을 절충한 이 도법은, 경선의 간격은 고정되어 있으나 위선의 간격을 조절하여 각도관계가 정확하도록(정각 도법) 되어 있다. 따라서 적도에서 멀어질수록 축척 및 면적이 크게 확대되기 때문에 위도 80' ~ 85' 이상의 지역에 대해선 사용하지 않는다. 이 도법의 가장 큰 특징은 지도 상 임의의 두 지점을 직선으로 연결하면 항정선과 같아진다는 것이다. 따라서 항해용 지도로 많이 사용해 왔다. 또 방향이나 각도 관계가 정확하므로 해류나 풍향 등을 나타내는 지도에도 많이 사용한다.

메르카토르도법으로 그린 세계지도. 메르카토르 도법으로 그린 지도에서는 항정선이 직선으로 나타난다. 항해용 지도에 주로 쓰인다.

공식

구를 기준으로 할 때 위도 φ인 지역은 sec(φ)배 확대해야 정각성을 유지하게 된다. 따라서 반지름 R, 중앙 경선을 λ₀으로 둘때 경도 λ, 위도 φ인 지점은 메르카토르 도법에서 아래와 같은 위치로 옮겨진다.

${\begin{aligned}x&=R(\lambda -\lambda _{0}),\qquad \\y&=R\log \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)\right].\end{aligned}}$

수학적 특성

역변환

역변환의 방정식은 다음과 같다.

$\lambda =\lambda _{0}+{\frac {x}{R}},\phi =\arcsin(\tanh({\frac {y}{R}}))$

절사

앞서 언급했듯, 이 도법은 대개 남북위 $85^{\circ }$ 가량에서 절사하여 사용한다. 이는 양 극으로 갈수록 지도상의 거리가 무한대로 발산하여 유한한 공간 안에 모두 담을 수 없는 도법의 특성상 절사하여 사용할 수밖에 없는데, 종횡비가 1:1이 되게 하는 값이 $85^{\circ }$ 정도이기 때문이다.

원통도법에서 가로의 길이는 물론 지구 둘레와 같은 $2\pi R$이다. 여기서 종횡비가 1:1이 되게 하려면 $y=-\pi R$부터 $y=\pi R$까지 끊으면 되므로, 위의 역변환 식에 $y=\pi R$을 대입하면, $\phi =\arcsin(\tanh(\pi ))\approx 1.484422$가 된다. 이를 육십분법으로 환산하면 $85^{\circ }3'4''$ 정도가 된다.

같이 보기

• 횡축 메르카토르 도법
• 사축 메르카토르 도법