부분 대상과 몫 대상

범주론에서 부분 대상(部分對象, 영어: subobject)은 어떤 범주에서 주어진 대상의 일부분으로 여길 수 있는 구조이며, 몫 대상(-對象, 영어: quotient object)은 어떤 범주에서 주어진 대상에 동치 관계를 가한 것으로 여길 수 있는 구조이다. 부분집합이나 부분군 및 동치류 집합, 몫군의 개념을 추상화한 것이다.

정의

부분 대상과 몫 대상은 서로 쌍대되는 개념이다. 즉, 범주 ${\mathcal {C}}$에서 대상 $X$의 부분 대상 범주 $\operatorname {Sub} _{\mathcal {C}}(X)$가 주어졌다면,

$(\operatorname {Sub} _{\mathcal {C}}(X))^{\operatorname {op} }\equiv \operatorname {Quot} _{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}(X)$

이다. 여기서 $\equiv$는 범주의 동형이다.

부분 대상

범주 ${\mathcal {C}}$의 대상 $X\in {\mathcal {C}}$의 부분 대상은 $X$를 공역으로 하는 단사 사상들의 동치류이다. 여기서 사용되는 동치 관계는 다음과 같다. 만약

$f\colon Y\hookrightarrow X$

$g\colon Z\hookrightarrow X$

이며,

$f=g\circ h$

$g=f\circ {\tilde {h}}$

인 사상

$h\colon Y\to Z$

${\tilde {h}}\colon Z\to Y$

이 존재한다면,

$f\sim g$

로 놓는다. (이 경우 $h$와 ${\tilde {h}}$는 유일하며, 동형 사상이며, 서로 역사상이다.)

$X$의 부분 대상의 모임 $\operatorname {Sub} (X)$에는 다음과 같은 자연스러운 부분 순서 $\leq$가 정의된다.

$[f]\leq [g]\iff \exists h\colon f=g\circ h$

이에 따라, $\operatorname {Sub} (X)$는 (사상 모임이 공집합이거나 하나의 원소만을 가진) 범주로 간주할 수 있다.

몫 대상

범주 ${\mathcal {C}}$의 대상 $X\in {\mathcal {C}}$의 몫 대상은 $X$를 정의역으로 하는 전사 사상들의 동치류이다. 여기서 사용되는 동치 관계는 다음과 같다. 만약

$f\colon X\twoheadrightarrow Y$

$g\colon X\twoheadrightarrow Z$

이며,

$f=h\circ g$

$g={\tilde {h}}\circ f$

인 사상

$h\colon Z\to Y$

${\tilde {h}}\colon Y\to Z$

이 존재한다면,

$f\sim g$

로 놓는다. (이 경우 $h$와 ${\tilde {h}}$는 유일하며, 동형 사상이며, 서로 역사상이다.)

$X$의 몫 대상의 모임 $\operatorname {Quot} (X)$에는 다음과 같은 자연스러운 부분 순서 $\leq$가 정의된다.

$[f]\leq [g]\iff \exists h\colon h\circ f=g$

이에 따라, $\operatorname {Quot} (X)$는 (사상 모임이 공집합이거나 하나의 원소만을 가진) 범주로 간주할 수 있다.

정멱 범주

범주 ${\mathcal {C}}$에서, 주어진 대상 $X$의 부분 대상 모임 $\operatorname {Sub} (X)$은 고유 모임일 수 있다. 만약 모든 대상의 부분 대상 모임이 집합이라면, ${\mathcal {C}}$를 정멱 범주(整冪範疇, 영어: well-powered category)라고 한다.

마찬가지로, 범주 ${\mathcal {C}}$의 모든 대상의 몫 대상 모임이 집합이라면, ${\mathcal {C}}$를 쌍대 정멱 범주(雙對整冪範疇, 영어: co-well-powered category)라고 한다.

정의에 따라, 부분 대상 분류자를 갖는 국소적으로 작은 범주는 정멱 범주이다.

예

순서수의 고유 모임에 최대 원소를 추가하여 만든 정렬 전순서 모임

$\operatorname {Ord} +1=\operatorname {Ord} \sqcup \{\infty \}$

은 범주로서 정멱 범주가 아니다.

우리손 공간과 연속 함수들의 범주 $\operatorname {Ury}$는 쌍대 정멱 범주가 아니다.

같이 보기

• 부분 대상 분류자

각주

• Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• “Subobject”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Quotient object”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Subobject”. 《nLab》 (영어). 
• “Quotient object”. 《nLab》 (영어). 
• “Well-powered category”. 《nLab》 (영어).