반연속 함수

해석학과 위상수학에서 상반연속 함수(上半連續函數, 영어: upper semicontinuous function)와 하반연속 함수(下半連續函數, 영어: lower semicontinuous function)는 연속 함수의 성질을 약화한 개념이다. 대략, 상반연속 함수에서, 정의역의 점이 $x$에 가까울 때 함수의 값은 $f(x)$에 가깝거나 보다 작다. 반대로, 하반연속 함수의 정의역의 점이 $x$에 가까우면 함수 값은 $f(x)$에 가깝거나 크다.

정의

위상 공간 $X$에서 전순서 집합 $(Y,\leq )$로 가는 함수 $f\colon X\to Y$가 다음 조건을 만족시키면, 상반연속 함수라고 한다.

• $Y$에 하위상을 가했을 때, $f$는 연속 함수이다. 즉, 임의의 $y\in Y$에 대하여, $\{x\in X\colon f(x)<y\}$는 열린집합이다.

마찬가지로, $f$가 다음 조건을 만족시키면, 하반연속 함수라고 한다.

• $Y$에 상위상을 가했을 때, $f$는 연속 함수이다. 즉, 임의의 $y\in Y$에 대하여, $\{x\in X\colon f(x)>y\}$는 열린집합이다.

실수 값 함수

실수 값의 함수의 경우 상·하반연속 함수의 개념은 상극한과 하극한을 통해 정의할 수 있다. 즉, 위상 공간 $X$에서 실수선으로 가는 함수 $f\colon X\to \mathbb {R}$가 주어졌을 때, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 상반연속 함수이다.
• 임의의 $x\in X$에 대하여, $\limsup _{y\to x}f(y)\leq f(x)$

마찬가지로, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 하반연속 함수이다.
• 임의의 $x\in X$에 대하여, $\liminf _{y\to x}f(y)\geq f(x)$

성질

위상 공간 $X$에서 전순서 집합 $(Y,\leq )$로 가는 함수 $f\colon X\to Y$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $f$는 상반연속 함수이다.
• $f$를 반대 전순서 집합 $(Y,\leq )^{\operatorname {op} }=(Y,\geq )$를 공역으로 하는 함수로 여겼을 때, 하반연속 함수이다.

특히, $x\mapsto -x$가 실수의 전순서 집합과 그 반대 전순서 집합 사이의 순서 동형이므로, 위상 공간 $X$에서 실수선으로 가는 함수 $f\colon X\to \mathbb {R}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $f$는 상반연속 함수이다.
• $-f$는 하반연속 함수이다.

연속 함수와의 관계

위상 공간 $X$에서 전순서 집합 $(Y,\leq )$로 가는 함수 $f\colon X\to Y$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 공역에 순서 위상을 가했을 때, 연속 함수이다.
• 상반연속 함수이자 하반연속 함수이다.

이는 순서 위상이 하위상과 상위상보다 섬세한 가장 엉성한 위상이기 때문이다.

상반연속 또는 하반연속 함수 $X\to \mathbb {R}$의 불연속점의 집합은 제1 범주 집합을 이룬다.

정규성과의 관계

위상 공간 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 정규 공간이다.
• 임의의 상반연속 함수 $f\colon X\to \mathbb {R}$ 및 하반연속 함수 $g\colon X\to \mathbb {R}$에 대하여, 만약 $\forall x\in X\colon f(x)\leq g(x)$라면, $\forall x\in X\colon f(x)\leq h(x)\leq g(x)$인 연속 함수 $h\colon X\to \mathbb {R}$가 존재한다.

위상 공간 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:159, Exercise 21B}

• 정규 공간이며, 가산 파라콤팩트 공간이다.
• 임의의 상반연속 함수 $f\colon X\to \mathbb {R}$ 및 하반연속 함수 $g\colon X\to \mathbb {R}$에 대하여, 만약 $\forall x\in X\colon f(x)<g(x)$라면, $\forall x\in X\colon f(x)<h(x)<g(x)$인 연속 함수 $h\colon X\to \mathbb {R}$가 존재한다.

위상 공간 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 완전 정규 공간이다.
• 임의의 상반연속 함수 $f\colon X\to \mathbb {R}$ 및 하반연속 함수 $g\colon X\to \mathbb {R}$에 대하여, 만약 $\forall x\in X\colon f(x)\leq g(x)$라면, $\forall x\in X\colon f(x)\leq h(x)\leq g(x)$이며, $f(x)<g(x)$일 때 $f(x)<h(x)<g(x)$인 연속 함수 $h\colon X\to \mathbb {R}$가 존재한다.

연산에 대한 닫힘

임의의 상(하)반연속 함수 $f,g\colon X\to Y$에 대하여,

$x\mapsto \min\{f(x),g(x)\}$

$x\mapsto \max\{f(x),g(x)\}$

는 둘 다 상(하)반연속 함수이다.

임의의 상(하)반연속 함수 $f,g\colon X\to \mathbb {R}$에 대하여, 두 함수의 합

$f+g\colon X\to \mathbb {R}$

는 상(하)반연속 함수이다.

임의의 상(하)반연속 함수 $f,g\colon X\to [0,\infty )$에 대하여, 곱

$f\cdot g\colon X\to [0,\infty )$

는 상(하)반연속 함수이다.

예

위에서 반연속인 함수. 진한 푸른 점은 f(c)를 의미한다.

다음과 같이 조각적으로 정의된 함수 f = −1 (x < 0 에 대해) and f = 1 (x ≥ 0 에 대해)를 생각해보자. 이 함수는 c = 0에서 위에서 반연속이다. 하지만 아래서 반연속은 아니다.

아래서 반연속인 함수. 진한 푸른 점은 f(c)를 의미한다.

x보다 같거나 작은 정수 중 가장 큰 값을 주는 내림함수 f(x)=⌊x⌋는 전구간에서 위에서 반연속이다. 비슷하게, 올림함수 f(x)=⌈x⌉는 아래로 반연속이다.

또한, 굳이 좌연속 또는 우연속일 필요 없이 함수는 반연속성을 가질 수 있다. 예를 들어, 함수

$f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\text{if }}0\leq x<1,\\2&{\text{if }}x=1,\\1/2+(1-x)&{\text{if }}x>1,\end{cases}}$

는 x = 1에서 좌연속 또는 우연속도 아니지만 위에서 반연속이다. 우극한의 값은 1/2, 좌극한의 값은 1이지만, 둘 다 2보다는 작다. 비슷하게 함수

$f(x)={\begin{cases}\sin(1/x)&{\text{if }}x\neq 0,\\1&{\text{if }}x=0,\end{cases}}$

는 x = 0에서 좌극한과 우극한이 존재하진 않지만, 위에서 반연속이다.

외부 링크

• “Semicontinuous function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Semicontinuous map”. 《nLab》 (영어). 
• “Semicontinuous topology”. 《nLab》 (영어).