변분법 (變分法, 영어 : calculus of variations )이란 미적분학 의 한 분야로, 일반 미적분학 과는 달리 범함수 를 다룬다. 이런 미적분학은 알려지지 않은 함수와 이 함수의 도함수를 다루는데, 주로, 어떠한 값을 최대화 하거나, 최소화하는 함수 모양이 어떻게 되는가를 다룬다.
오일러-라그랑주 방정식은 함수
q
{\displaystyle q}
S
{\displaystyle S}
q
(
t
)
{\displaystyle q\left(t\right)}
S
{\displaystyle S}
S
(
q
)
=
∫
a
b
L
(
t
,
q
(
t
)
,
q
′
(
t
)
)
d
t
{\displaystyle \displaystyle S(q)=\int _{a}^{b}L(t,q(t),q'(t))\,\mathrm {d} t}
이다. 여기서:
q
{\displaystyle q}
q
:
[
a
,
b
]
⊂
R
→
X
t
↦
x
=
q
(
t
)
{\displaystyle {\begin{aligned}q\colon [a,b]\subset \mathbb {R} &\to X\\t&\mapsto x=q(t)\end{aligned}}}
여기서
q
{\displaystyle q}
q
(
a
)
=
x
a
,
q
(
b
)
=
x
b
{\displaystyle q\left(a\right)=x_{a},q\left(b\right)=x_{b}}
q
′
{\displaystyle q'}
q
{\displaystyle q}
함수
f
{\displaystyle f}
f
(
a
)
=
c
,
f
(
b
)
=
d
{\displaystyle f\left(a\right)=c,f\left(b\right)=d}
J
{\displaystyle J}
J
[
f
]
=
∫
a
b
F
(
x
,
f
(
x
)
,
f
′
(
x
)
)
d
x
.
{\displaystyle J[f]=\int _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x))\,dx.\,\!}
여기서
F
{\displaystyle F}
만일
f
{\displaystyle f}
J
{\displaystyle J}
f
{\displaystyle f}
J
{\displaystyle J}
f
{\displaystyle f}
J
{\displaystyle J}
J
{\displaystyle J}
f
{\displaystyle f}
J
{\displaystyle J}
여기서
f
{\displaystyle f}
g
ϵ
(
x
)
=
f
(
x
)
+
ϵ
η
(
x
)
{\displaystyle g_{\epsilon }\left(x\right)=f\left(x\right)+\epsilon \eta \left(x\right)}
η
(
x
)
{\displaystyle \eta \left(x\right)}
η
(
a
)
=
η
(
b
)
=
0
{\displaystyle \eta \left(a\right)=\eta \left(b\right)=0}
y
{\displaystyle y}
g
ϵ
(
x
)
{\displaystyle g_{\epsilon }(x)}
J
{\displaystyle J}
J
(
g
ϵ
(
x
)
)
=
∫
a
b
F
(
x
,
g
ϵ
(
x
)
,
g
ε
′
(
x
)
)
d
x
.
{\displaystyle J(g_{\epsilon }(x))=\int _{a}^{b}F(x,g_{\epsilon }(x),g_{\varepsilon }'(x))\,dx.\,\!}
이제
J
{\displaystyle J}
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
전미분 을 구하면,
d
J
d
ε
=
∫
a
b
d
F
d
ϵ
(
x
,
g
ε
(
x
)
,
g
ε
′
(
x
)
)
d
x
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} J}{\mathrm {d} \varepsilon }}=\int _{a}^{b}{\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} \epsilon }}(x,g_{\varepsilon }(x),g_{\varepsilon }'(x))\,dx.}
전미분의 정의에서 다음과 같은 식이 나오며,
d
F
d
ϵ
=
∂
F
∂
x
∂
x
∂
ε
+
∂
F
∂
g
ε
∂
g
ε
∂
ε
+
∂
F
∂
g
ε
′
∂
g
ε
′
∂
ε
=
η
(
x
)
∂
F
∂
g
ε
+
η
′
(
x
)
∂
F
∂
g
ε
′
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} \epsilon }}={\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial F}{\partial g_{\varepsilon }}}{\frac {\partial g_{\varepsilon }}{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial F}{\partial g'_{\varepsilon }}}{\frac {\partial g'_{\varepsilon }}{\partial \varepsilon }}=\eta (x){\frac {\partial F}{\partial g_{\varepsilon }}}+\eta '(x){\frac {\partial F}{\partial g_{\varepsilon }'}}.}
그러므로
d
J
d
ϵ
=
∫
a
b
[
η
(
x
)
∂
F
∂
g
ε
+
η
′
(
x
)
∂
F
∂
g
ε
′
]
d
x
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} J}{\mathrm {d} \epsilon }}=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial F}{\partial g_{\varepsilon }}}+\eta '(x){\frac {\partial F}{\partial g_{\varepsilon }'}}\,\right]\,dx.}
만약
ϵ
=
0
{\displaystyle \epsilon =0}
g
ϵ
=
f
{\displaystyle g_{\epsilon }=f}
f
{\displaystyle f}
J
{\displaystyle J}
J
′
(
0
)
=
J
′
(
g
ϵ
)
ϵ
=
0
=
J
′
(
f
)
=
0
{\displaystyle J'(0)=J'(g_{\epsilon })_{\epsilon =0}=J'(f)=0}
J
′
(
0
)
=
∫
a
b
[
η
(
x
)
∂
F
∂
f
+
η
′
(
x
)
∂
F
∂
f
′
]
d
x
=
0.
{\displaystyle J'(0)=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial F}{\partial f}}+\eta '(x){\frac {\partial F}{\partial f'}}\,\right]\,dx=0.}
좀 더 정리하기 위해, 두 번째 항에 부분적분 을 한다. 그러면 다음과 같은 식을 얻는다.
0
=
∫
a
b
[
∂
F
∂
f
−
d
d
x
∂
F
∂
f
′
]
η
(
x
)
d
x
+
[
η
(
x
)
∂
F
∂
f
′
]
a
b
.
{\displaystyle 0=\int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]\eta (x)\,dx+\left[\eta (x){\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]_{a}^{b}.}
η
(
a
)
=
η
(
b
)
=
0
{\displaystyle \eta (a)=\eta (b)=0}
0
=
∫
a
b
[
∂
F
∂
f
−
d
d
x
∂
F
∂
f
′
]
η
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle 0=\int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]\eta (x)\,dx.\,\!}
변분법의 기본정리 를 적용하면, 다음과 같은 오일러-라그랑주 방정식을 얻는다.
0
=
∂
F
∂
f
−
d
d
x
∂
F
∂
f
′
.
{\displaystyle 0={\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}.}
(
∵
{\displaystyle \because }
η
(
t
)
{\displaystyle \eta (t)}
∂
F
∂
f
−
d
d
x
∂
F
∂
f
′
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}=0}
2차원 좌표평면상에 두 점
(
a
,
y
a
)
{\displaystyle \left(a,y_{a}\right)}
(
b
,
y
b
)
{\displaystyle \left(b,y_{b}\right)}
L
{\displaystyle L}
L
[
f
]
=
∫
a
b
1
+
f
′
(
x
)
2
d
x
{\displaystyle L\left[f\right]=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+f'\left(x\right)^{2}}}\,dx}
여기서
f
{\displaystyle f}
f
(
a
)
=
y
a
,
f
(
b
)
=
y
b
{\displaystyle f\left(a\right)=y_{a},f\left(b\right)=y_{b}}
위에서 증명한 오일러-라그랑주 방정식을 적용하게 되면, 함수
f
{\displaystyle f}
0
=
−
d
d
x
∂
∂
f
′
1
+
f
′
(
x
)
2
{\displaystyle 0=-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial }{\partial f'}}{\sqrt {1+f'\left(x\right)^{2}}}}
를 만족하여야 한다. 식을 조금 정리해보면,
0
=
d
d
x
∂
∂
f
′
1
+
f
′
(
x
)
2
=
d
d
x
f
′
(
x
)
1
+
f
′
(
x
)
2
{\displaystyle {\begin{matrix}0&=&{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial }{\partial f'}}{\sqrt {1+f'\left(x\right)^{2}}}\\&=&{\frac {d}{dx}}{\frac {f'\left(x\right)}{\sqrt {1+f'\left(x\right)^{2}}}}\end{matrix}}}
평균값 정리 에 의해 미분해서 0이되는 함수는 그 구간에선 상수함수이므로,
f
′
(
x
)
1
+
f
′
(
x
)
2
=
k
{\displaystyle {\frac {f'\left(x\right)}{\sqrt {1+f'\left(x\right)^{2}}}}=k}
가 되고, 좌변의 분모를 양변에 곱한 후 양변을 제곱하여 정리하면
f
′
(
x
)
{\displaystyle f'\left(x\right)}
f
′
(
x
)
=
C
{\displaystyle f'\left(x\right)=C}
따라서 두 점 사이의 곡선중 길이가 최소인 곡선은
f
(
x
)
=
C
x
+
D
{\displaystyle f\left(x\right)=Cx+D}
페르마의 원리 는 빛이 광로를 극소로 하는 경로를 따라 진행한다고 말한다. x 좌표가 경로
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
A
[
f
]
=
∫
x
=
x
0
x
1
n
(
x
,
f
(
x
)
)
1
+
f
′
(
x
)
2
d
x
,
{\displaystyle A[f]=\int _{x=x_{0}}^{x_{1}}n(x,f(x)){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx,\,}
으로 주어진다. 굴절률
n
(
x
,
y
)
{\displaystyle n(x,y)}
f
(
x
)
=
f
0
(
x
)
+
ε
f
1
(
x
)
{\displaystyle f(x)=f_{0}(x)+\varepsilon f_{1}(x)}
A 의 일계 변분(A 의 ε에 대한 일계 도함수)는
δ
A
[
f
0
,
f
1
]
=
∫
x
0
x
1
[
n
(
x
,
f
0
)
f
0
′
(
x
)
f
1
′
(
x
)
1
+
f
0
′
(
x
)
2
+
n
y
(
x
,
f
0
)
f
1
1
+
f
0
′
(
x
)
2
]
d
x
.
{\displaystyle \delta A[f_{0},f_{1}]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'(x)f_{1}'(x)}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}}+n_{y}(x,f_{0})f_{1}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}\right]dx.}
이다. 첫째항에 대해 부분적분을 하면 오일러-라그랑주 공식을 얻게된다.
−
d
d
x
[
n
(
x
,
f
0
)
f
0
′
1
+
f
0
′
2
]
+
n
y
(
x
,
f
0
)
1
+
f
0
′
(
x
)
2
=
0.
{\displaystyle -{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'}{\sqrt {1+f_{0}'^{2}}}}\right]+n_{y}(x,f_{0}){\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}=0.\,}
빛의 경로는 위 식을 적분함으로써 결정된다. 이 유도는 라그랑주 광학, 해밀턴 광학에 이용된다.
빛이 렌즈를 들어가거나 나갈때 굴절률은 불연속이다.
n
(
x
,
y
)
=
n
−
if
x
<
0
,
{\displaystyle n(x,y)=n_{-}\quad {\hbox{if}}\quad x<0,\,}
n
(
x
,
y
)
=
n
+
if
x
>
0
,
{\displaystyle n(x,y)=n_{+}\quad {\hbox{if}}\quad x>0,\,}
이라 하자. (여기서
n
−
{\displaystyle n_{-}}
n
+
{\displaystyle n_{+}}
x <0 또는 x >0인 구간에서 성립하며 굴절률이 상수이므로 경로는 일직선이 된다. x =0,에서 f 가 연속이어야 하지만 f' 는 불연속일 수도 있다. 각 범위에서 오일러-라그랑주 방정식에서 부분적분을 하면 일계 변분은
δ
A
[
f
0
,
f
1
]
=
f
1
(
0
)
[
n
−
f
0
′
(
0
−
)
1
+
f
0
′
(
0
−
)
2
−
n
+
f
0
′
(
0
+
)
1
+
f
0
′
(
0
+
)
2
]
.
{\displaystyle \delta A[f_{0},f_{1}]=f_{1}(0)\left[n_{-}{\frac {f_{0}'(0_{-})}{\sqrt {1+f_{0}'(0_{-})^{2}}}}-n_{+}{\frac {f_{0}'(0_{+})}{\sqrt {1+f_{0}'(0_{+})^{2}}}}\right].\,}
이 된다.
n
−
{\displaystyle n_{-}}
n
+
{\displaystyle n_{+}}
스넬의 법칙 은 이 두항이 같아야 한다는 것이다. 즉, 스넬의 법칙은 광로의 일계 변분이 사라지는 것과 동치이다.
고전역학에서 작용 S 는 라그랑지안 L 의 시간에 대한 적분으로 정의된다. 라그랑지안은 에너지의 차이이다.
L
=
T
−
U
,
{\displaystyle L=T-U,\,}
T 는 역학계의 운동에너지 이고 U 는 퍼텐셜 에너지 이다. 해밀턴의 원리 (또는 작용 원리)는 보존계는 작용 적분
S
=
∫
t
=
t
0
t
1
L
(
x
,
x
˙
,
t
)
d
t
{\displaystyle S=\int _{t=t_{0}}^{t_{1}}L(x,{\dot {x}},t)dt\,}
이 경로 x(t) 에 대해 정류값을 갖도록 운동한다는 것이다.
이런 역학계의 오일러-라그랑주 방정식은 라그랑주 방정식이라 불린다.
d
d
t
∂
L
∂
x
˙
=
∂
L
∂
x
,
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {\partial L}{\partial x}},\,}
이는 뉴턴의 운동 방정식과 동치이다.
운동량 P 는 다음과 같이 정의된다.
p
=
∂
L
∂
x
˙
.
{\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}.\,}
예로
T
=
1
2
m
x
˙
2
,
{\displaystyle T={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2},\,}
이면
p
=
m
x
˙
.
{\displaystyle p=m{\dot {x}}.\,}
해밀턴 역학 은
x
˙
{\displaystyle {\dot {x}}}
L 이 다음과 같이 정의된 해밀토니안 H 으로 대채될 때 유도된다.
H
(
x
,
p
,
t
)
=
p
x
˙
−
L
(
x
,
x
˙
,
t
)
.
{\displaystyle H(x,p,t)=p\,{\dot {x}}-L(x,{\dot {x}},t).\,}
해밀토니안은 계의 역학적 에너지이다 : H = T + U .
![{\displaystyle J[y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56de74c2aef9dcd4fdf1f824e419586cf97bb580)
![{\displaystyle \Delta J=J[y]-J[f]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/908a610680f68b49d2d74f7909915ae0a941badf)
![{\displaystyle J[f]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de95b8fa7148a0649ae7783e6d6d0fb67ab5e18f)
이 부분의 본문은 오일러-라그랑주 방정식입니다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}q\colon [a,b]\subset \mathbb {R} &\to X\\t&\mapsto x=q(t)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68d2058355fec72eed7271ab8f1bdbaea746fbfe)
![{\displaystyle J[f]=\int _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x))\,dx.\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a9e14187189494bce0658e5cc39001894e20a85)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} J}{\mathrm {d} \epsilon }}=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial F}{\partial g_{\varepsilon }}}+\eta '(x){\frac {\partial F}{\partial g_{\varepsilon }'}}\,\right]\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/681a5d3171adc17d591d54efe5ae1f2b3284bdd4)
![{\displaystyle J'(0)=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial F}{\partial f}}+\eta '(x){\frac {\partial F}{\partial f'}}\,\right]\,dx=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bb65f0ec53cfcc8e7ab4f72eab6b219ac48f6b2)
![{\displaystyle 0=\int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]\eta (x)\,dx+\left[\eta (x){\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]_{a}^{b}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00bffac9ac8bcb1c664942a113c72e9c3c1f37e8)
![{\displaystyle 0=\int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]\eta (x)\,dx.\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de8eb2881c10cc842aaa3ab5044079045d9582f6)
![{\displaystyle L\left[f\right]=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+f'\left(x\right)^{2}}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a7ab2e664310d250c3eebbb1b8d73bab64969bc)
![{\displaystyle A[f]=\int _{x=x_{0}}^{x_{1}}n(x,f(x)){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/655efb329dac288b43e90debc0db4bf1dc411c12)
![{\displaystyle \delta A[f_{0},f_{1}]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'(x)f_{1}'(x)}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}}+n_{y}(x,f_{0})f_{1}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}\right]dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ead6cba217489cda24fd7b6a11af8b653686dfea)
![{\displaystyle -{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'}{\sqrt {1+f_{0}'^{2}}}}\right]+n_{y}(x,f_{0}){\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}=0.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fc9c859a02e68d012ebaf5051c4340ee057ec89)
![{\displaystyle \delta A[f_{0},f_{1}]=f_{1}(0)\left[n_{-}{\frac {f_{0}'(0_{-})}{\sqrt {1+f_{0}'(0_{-})^{2}}}}-n_{+}{\frac {f_{0}'(0_{+})}{\sqrt {1+f_{0}'(0_{+})^{2}}}}\right].\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87691e0c087024274814837084cc52dd3cfdf337)
