보른-인펠트 이론

이론물리학에서 보른-인펠트 이론(Born-Infeld異論, 영어: Born–Infeld theory)은 비선형 전자기 이론의 하나다. 약한 장 극한에서 맥스웰 이론으로 수렴하지만, 점전하의 근처에서 장세기가 발산하지 않는다. 끈 이론에 등장한다.

정의

편의상 $c=\epsilon _{0}=1$로 놓자. 그렇다면, 보른-인펠트 이론의 작용은 다음과 같다.

$S=\int \left(-{\sqrt {-\det \left(\eta +{F \over b}\right)}}\right)\,\mathrm {d} x^{4}$

여기서 $\eta$는 민코프스키 계량 텐서이며, F는 패러데이 텐서다. b는 척도 매개 변수다. 사실, $b$는 [길이]²의 단위를 가지므로, 장세기 $F$를 재정의하여 없앨 수 있으며, 따라서 이 이론은 사실 (단위 없는) 매개 변수를 갖지 않는다.

3차원 벡터로 쓰면 작용은 다음과 같다.

$S=\int \left(-{\sqrt {1-{\frac {E^{2}-B^{2}}{b^{2}}}-{\frac {(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} )^{2}}{b^{4}}}}}\right)\,\mathrm {d} x^{4}$

여기서 $\mathbf {E}$는 전기장, $\mathbf {B}$는 자기장이다.

유도

보른-인펠트 이론은 다음 5가지 조건을 만족시키는 유일한 고전 장론이다.^:§1

1. 푸앵카레 변환에 대하여 불변이다.
2. 약한 장세기 극한에서 맥스웰 이론에 수렴한다.
3. 바일 게이지 변환에 대하여 불변이다.
4. 점입자의 전자기 에너지는 유한하다.
5. 전자기파의 속력이 편광 방향에 관계 없이 일정하다.

성질

보른-인펠트 이론에서는 전자기장의 크기가 제약을 받는다. 정확히 말하면, 전기장 $\mathbf {E}$과 자기장 $\mathbf {B}$는 다음을 만족한다.

$E^{2}-B^{2}+(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} )^{2}/b^{2}\leq b^{2}$.

즉, 만약 자기장이 없으면 ($\mathbf {B} =\mathbf {0}$) 전기장의 최댓값은 $b$이다.

$E\leq b$.

또한, 만약 전자기장의 크기가 $b$보다 현저히 작다면 ($E,B\ll b$) 보른-인펠트 이론은 맥스웰 이론으로 수렴한다.

구체적으로, 유클리드 부호수의 4차원 보른-인펠트 이론을 생각하자. 이 경우

${\begin{aligned}\det(\eta +F/b)&=1+{\frac {1}{2}}b^{-2}F_{ij}F^{ij}+{\frac {1}{16}}b^{-4}\left(F_{ij}(\star F)^{ij}\right)^{2}\\&=\left(1+{\frac {1}{4b^{2}}}F_{ij}(\star F)^{ij}\right)^{2}+{\frac {1}{4b^{2}}}(F-\star F)_{ij}(F-\star F)^{ij}\end{aligned}}$

$(\star F)_{ij}={\frac {1}{2}}\epsilon _{ijkl}F^{kl}$

이므로,^:(3.2)

${\sqrt {\det(\eta +F/b)}}-1\geq {\frac {1}{4}}b^{-2}F_{ij}(\star F)^{ij}$

이며, 이는 천 특성류이다. 즉, 자기 쌍대 장세기(아벨 양-밀스 순간자)는 BPS 조건을 만족시켜, 자동적으로 보른-인펠트 이론의 해를 이룬다. $F\ll b$ 극한에서는

${\sqrt {\det(\eta +F/b)}}-1={\frac {1}{4b^{2}}}F_{ij}F^{ij}+{\mathcal {O}}(b^{-4})$

이므로 그 작용은 맥스웰 작용으로 근사된다. 반면, $F$가 크다면 작용은 위와 같이 천 특성류 항으로 근사된다. 또한, 4차원 보른-인펠트 작용은 전기-자기 이중성

$F\leftrightarrow \star F$

에 대하여 (맥스웰 작용과 마찬가지로) 불변이다.

점전하의 자체 에너지

맥스웰 이론에서는 점전하의 자체 에너지가 발산한다. 역사적으로 보른과 인펠트는 전자의 자체 에너지가 맥스웰 이론에서 발산하는 문제를 풀기 위하여 보른-인펠트 이론을 도입하였다. 보른-인펠트 이론에서는 점전하의 전자기장 $\mathbf {E}$, $\mathbf {B}$가 유한하지만, 에너지 밀도는 발산하게 된다. 그러나 이 경우 총 에너지는 유한하다.^:442 이러한 해를 바이온(영어: BIon)이라고 한다. 여기서 "BI"는 "보른-인펠트"의 약자이다.

실험

보른-인펠트 이론을 실제 세계를 묘사하는, 양자 전기 역학의 보정으로 여길 경우, 이를 뒷받침하는 실험적 증거는 현재 (2016년) 존재하지 않으며, 보른-인펠트 이론의 매개 변수 $b$에 대한 하한은 실험적으로 측정되었다.^:§IV.D

구체적으로, 1973년의 실험에 따르면

$b\geq 17\;\mathrm {ZV/m}$

이다. 그러나 이 실험의 해석에 대하여 최근에 이의가 제기되었다.

디랙-보른-인펠트 작용

끈 이론에서, D-막 위의 게이지 장은 위와 비슷한 꼴의 작용을 가지는데, 이를 디랙-보른-인펠트 작용(영어: Dirac–Born–Infeld action)이라고 부른다.^{:135, §5.3 The Dirac–Born–Infeld action} 구체적으로, 그 작용은 다음과 같다.

${\mathcal {L}}=-T_{p}{\sqrt {-\det \left(\eta +2\pi \alpha 'F\right)}}$.

여기서 $T_{p}$는 D-막의 장력(tension)이다. $F_{ab}$는 D-막의 게이지 장세기로, 전자기론에서의 패러데이 텐서에 해당한다. $\alpha '$는 레제 기울기로, 끈 이론에 등장하는 상수다.

만약 여기에 캘브-라몽 장 $B_{ab}$와 딜라톤 $\Phi$를 추가하고, 중력장을 ($\eta$ 대신) 일반적으로 $G_{ab}$로 쓰면 다음과 같다.

${\mathcal {L}}=-T_{p}e^{-\Phi }{\sqrt {\det(G+B+2\pi \alpha 'F)}}$.

따라서 D-막에 붙어 있는 열린 끈이 부피 공간(영어: bulk)의 배경이 되는 느뵈-슈워츠-느뵈-슈워츠 장(중력장, 캘브-라몽 장, 딜라톤 장)과 직접 결합하게 된다.

디랙-보른-인펠트 작용은 제곱근 속에 있는 항($G+B+2\pi \alpha 'F)$)의 1차 도함수가 끈 길이 ${\sqrt {\alpha '}}$보다 매우 작을 때 믿을 수 있다. 즉, 게이지 장 $A_{\mu }$ 및 스칼라 $\Phi$의 2차 도함수와 캘브-라몽 장의 1차 도함수가 끈 길이보다 매우 작아야 한다.

역사

1930년대 초에 막스 보른은 전자기장의 세기가 발산할 수 없는, 맥스웰 방정식의 변형을 찾으려고 노력하였다. 이에 따라 보른이 1933년에 최초로 제시한 라그랑지언은 다음과 같다.

$L={\frac {1}{b^{2}}}{\sqrt {1-b^{2}(\mathbf {E} ^{2}-\mathbf {B} ^{2})}}$

같은 해에 보른과 레오폴트 인펠트는 이 항이 로런츠 불변이려면 제곱근 속에 $-b^{-4}\mathbf {E} \cdot \mathbf {B}$를 추가하여야 한다는 점을 지적하였다. 보른과 인펠트는 이 이론을 도입하게 된 목표를 다음과 같이 두 가지로 제시하였다.

“	최근 제시된 새 장 방정식들은 두 개의 원리로부터 각각 유도될 수 있다. 첫째 원리는 꽤 자명한 물리학 명제이며, 둘째 원리는 마찬가지로 자명한 수학적 공준이다. (1) […] 고전적 [맥스웰] 라그랑지언은 […] 무한히 큰 장세기를 야기한다. 그러나 경험에 따르면, 유한 장 원리가 성립한다. 고전적 함수 [맥스웰 라그랑지언] $L$을 사용하면 무한한 [점입자] 자기 에너지와 다른 기타 물리량이 발생하지만, 이들은 사실 물론 유한해야 한다. […] (2) 같은 결과를 작용의 불변성으로부터 얻을 수 있다. […] 모든 텐서는 대칭 성분과 반대칭 성분으로 분해된다. […] 대칭 성분은 […] 계량 텐서로, 반대칭 성분은 […] 전자기 텐서로 여겨야 한다. 만약 작용이 […] 약한 장세기와 데카르트 좌표계에서 [맥스웰 작용]으로 수렴하게 하려면, 우리는 […] [위]의 경우와 같은 결과를 얻는다. The new field equations proposed recently can be derived from either of two principles, the first being a rather obvious physical statement, the other an equally obvious mathematical postulate. (1) […] The classical [Maxwell] Lagrangian […] leads to infinitely large values for the strengths of the field. But experience leads to the principle of the finite field. For the use of the classical function $L$ gives infinite values of [point particle] self energy and other physical quantities which are, in fact, certainly finite. […] (2) The same result can be obtained by the mathematical postulate of the invariance of action. […] [E]very tensor can be split up into a symmetrical and antisymmetrical part […] The symmetrical part […] should be identified with the metrical and [the antisymmetrical part] with the electromagnetic tensor. If we demand that the actions […] take the form of the [Maxwell action] in the case of small electromagnetic fields and cartesian co-ordinate systems, we obtain […] [an] expression […] entirely equivalent to the [above].	”
	—

현대적인 관점에서, (1)번 문제는 양자 전기 역학의 도입을 통해 해결되었다. 그러나 (2)번 원리를 통한 유도는 끈 이론에서 D-막의 난부-고토 작용으로부터 자연스럽게 발생하게 된다.

이후 1980년대에 초끈 이론의 D-막이 초대칭 보른-인펠트 이론을 자연스럽게 갖는다는 사실이 발견되면서 보른-인펠트 이론은 재주목받게 되었다.^:§3

외부 링크

• “Dirac-Born-Infeld action”. 《nLab》 (영어).