본질적 단사 사상

범주론에서 본질적 단사 사상(本質的單射寫像, 영어: essential monomorphism)은 동형 사상에 매우 가까워, 이와 합성하는 것이 사상이 단사 사상인지 여부에 영향을 끼치지 않는 단사 사상이다. 마찬가지로, 잉여적 전사 사상(剩餘的全射寫像, 영어: superfluous epimorphism)은 동형 사상에 매우 가까워, 이와 합성하는 것이 사상이 전사 사상인지 여부에 영향을 끼치지 않는 전사 사상이다.

정의

범주 ${\mathcal {C}}$ 의 단사 사상 $f\colon X\to {\tilde {X}}$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, $f$ 가 본질적 단사 사상이라고 한다.

임의의 사상

g\colon {\tilde {X}}\to Y

에 대하여, 만약

g\circ f

가 단사 사상이라면,

g

역시 단사 사상이다.

마찬가지로, 범주 ${\mathcal {C}}$ 의 전사 사상 $f\colon {\tilde {X}}\to X$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, $f$ 가 잉여적 전사 사상이라고 한다.

임의의 사상

g\colon Y\to {\tilde {X}}

에 대하여, 만약

f\circ g

가 전사 사상이라면,

g

역시 전사 사상이다.

보다 일반적으로, 위 정의에서, 단사 사상의 모임 또는 전사 사상의 모임을 다른 종류의 사상의 모임 ${\mathfrak {H}}$ 로 바꾸어 ${\mathfrak {H}}$ -본질적 사상 및 ${\mathfrak {H}}$ -잉여적 사상을 정의할 수 있다.

예

임의의 범주에서, 동형 사상은 항상 본질적 단사 사상이자 잉여적 전사 사상이다.

집합

집합과 함수의 범주 $\operatorname {Set}$ 에서, 본질적 단사 사상 및 잉여적 전사 사상은 전단사 함수 밖에 없다.

가군

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 ${\tilde {M}}$ 의 부분 가군 $M$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 경우 $M$ 이 ${\tilde {M}}$ 의 본질적 부분 가군, ${\tilde {M}}$ 이 $M$ 의 본질적 확대라고 한다.^[1]^{:74, Definition 3.26}

포함 사상 $M\to {\tilde {M}}$ 은 왼쪽 가군 범주 $_{R}\operatorname {Mod}$ 의 본질적 단사 사상이다.
${\tilde {M}}$ 의 임의의 부분 가군 $N$ 에 대하여, 만약 $M\cap N=0$ 이라면 $N=0$ 이다.

(이 두 조건이 동치인 것은 $N$ 을 핵으로 갖는 가군 준동형 $g\colon M\to P$ 를 생각하면 알 수 있다.)

마찬가지로, 환 $R$ 위의 왼쪽 가군 ${\tilde {M}}$ 의 부분 가군 $K$ 및 몫가군 $M={\tilde {M}}/K$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 경우 $K$ 가 ${\tilde {M}}$ 의 잉여적 부분 가군이라고 한다.^[1]^:74

몫 사상 ${\tilde {M}}\to M$ 은 왼쪽 가군 범주 $_{R}\operatorname {Mod}$ 의 잉여적 전사 사상이다.
${\tilde {M}}$ 의 임의의 부분 가군 $N\subseteq {\tilde {M}}$ 에 대하여, 만약 $K+N={\tilde {M}}$ 이라면 $N={\tilde {M}}$ 이다.

(이 두 조건이 동치인 것은 $N$ 을 상으로 갖는 가군 준동형 $g\colon P\to {\tilde {M}}$ 를 생각하면 알 수 있다.)

본질적 부분 가군은 흔히 $\subseteq _{\text{e}}$ 로, 잉여적 부분 가군은 흔히 $\subseteq _{\text{s}}$ 로 표기한다.

특히, $_{R}R$ 자체의 본질적/잉여적 부분 가군을 본질적/잉여적 왼쪽 아이디얼이라고 한다.

각주

↑ ^가 ^나 Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 189. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294.

외부 링크

“Essential subgroup”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Superfluous epimorphism”. 《nLab》 (영어).
“Essential ideal”. 《nLab》 (영어).
Sharifi, Yaghoub (2011년 12월 4일). “A singular module is a quotient of a module by an essential submodule”. 《Abstract Algebra》 (영어).

[Lam-1] 가 ^나 Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 189. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294.

[1]