정사각형 테셀레이션

정사각형 타일링

종류	정다각형 타일링
꼭짓점 배치	4.4.4.4 (or 4⁴)
면 배치	V4.4.4.4 (or V4⁴)
슐레플리 기호	{4,4} {∞}×{∞}
위토프 기호	4 \| 2 4
콕서터 다이어그램
대칭	p4m, [4,4], (*442)
회전 대칭	p4, [4,4]⁺, (442)
쌍대	자기쌍대
특성	점추이, 변추이, 면추이

기하학에서 사각형 타일링, 사각형 테셀레이션 또는 사각형 격자는 유클리드 평면에서의 정다각형 테셀레이션이다. 이것은 슐레플리 기호로 {4,4}이며, 그 의미는 매 꼭짓점마다 정사각형이 4개가 있다는 것을 의미한다.

콘웨이는 이것을 쿼드라일이라고 불렀다.

정사각형의 내각은 90도이기 때문에 한 점에 네 정사각형으로 360도를 완전히 채운다. 이것은 평면에서의 세 정다각형 타일링 중 하나이다. 나머지 둘은 정삼각형 타일링과 정육각형 타일링이다.

균일 색칠

사각형 타일링은 9가지의 구분되는 균일 색칠이 있다. 꼭짓점 주변의 사각형의 색깔을 나타냈다: 1111, 1112(i), 1112(ii), 1122, 1123(i), 1123(ii), 1212, 1213, 1234. (i)의 경우에는 단순 반사 대칭을 가지고 있고, (ii)는 미끄럼 반사 대칭을 가진다. 세 개는 색칠을 줄인 같은 대칭 영역으로 볼 수 있다: 1213에서 1112_i로, 1234에서 1123_i로, 그리고 1123_ii에서 색을 줄여 1112_ii가 되었다고 볼 수 있다.

9가지 균일 색칠
1111	1212	1213	1112_i	1122

p4m (*442)		p4m (*442)		pmm (*2222)
1234	1123_i	1123_ii	1112_ii

pmm (*2222)		cmm (2*22)

정사각형 타일링의 위토프 구성

고른 다면체처럼, 정사각형 타일링을 기반으로 하는 고른 테셀레이션은 여덟가지가 있다.

원래 면이 있는 곳에 빨간 색을, 꼭짓점에 노란색을, 변에 파란색을 칠하면 모든 8가지 형채는 모두 구분이 된다. 하지만, 면을 모두 동일하게 보면 위상적으로 구분되는 형태는 세 개 뿐이다: 정사각형 타일링, 깎은 정사각형 타일링, 부풀린 정삼각형 테셀레이션이다.

위상적으로 동일한 타일링

두 종류의 면으로 이루어진 점추이적인 변형이다

마름모 면으로 이루어진 2-면추이 변형이다

다른 사각형 테셀레이션은 정사각형 타일링과 위상적으로 동일(꼭짓점 주변에 사각형 4개)하게 만들 수 있다.

면추이 테셀레이션은 동일한 면(면추이)을 가지고 있고 점추이이며 18가지의 변형이 있다. 여기에는 6가지의 변끼리 만나지 않는 삼각형과 동일한 것, 혹은 두 변이 동일선상에 있는 사각형을 포함한다. 여기에 나온 대칭은 모든 면의 색이 동일하다고 가정하고 적용했다.^[1]

면추이 사각형 테셀레이션
정사각형 p4m, (*442)	직사각형 pmm, (*2222)	평행사변형 p2, (2222)	평행사변형 pmg, (22*)	마름모 cmm, (2*22)


사다리꼴 cmm, (2*22)	사각형 pgg, (22×)	연꼴 pmg, (22*)	사각형 pgg, (22×)	사각형 p2, (2222)

불가능한 사각형 혹은 변끼리 만나지 않는 삼각형
이등변 pmg, (22*)	이등변 pgg, (22×)		부등변 pgg, (22×)		부등변 p2, (2222)

원 채우기

정사각형 타일링은 모든 점에 지름이 같은 원의 중심을 놓아 원 채우기에 사용할 수 있다. E모든 원은 채우기에 있는 다른 4개의 원과 접촉하고 있다(입맞춤 수).^[2] 채우기 밀도는 π/4=78.54%를 덮는다. 원 채우기의 균일 색칠은 4가지가 있다.

같이 보기

각주

↑ Tilings and Patterns, from list of 107 isohedral tilings, p.473-481
↑ Order in Space: A design source book, Keith Critchlow, p.74-75, circle pattern 3
↑ Coxeter, Regular Complex Polytopes, pp. 111-112, p. 136.

Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Table II: Regular honeycombs
Klitzing, Richard. “2D Euclidean tilings o4o4x - squat - O1”.
틀:The Geometrical Foundation of Natural Structure (book) p36
Grünbaum, Branko ; and Shephard, G. C. (1987). 《Tilings and Patterns》. New York: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-1193-1. CS1 관리 - 여러 이름 (링크) (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings, p. 58-65)
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 [1]

외부 링크

Weisstein, Eric Wolfgang. “Square Grid”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Regular tessellation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Uniform tessellation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.

v t e 기본적인 2-10차원의 볼록 정벌집과 고른 벌집
공간	군	${\tilde {A}}_{n-1}$	${\tilde {C}}_{n-1}$	${\tilde {B}}_{n-1}$	${\tilde {D}}_{n-1}$	${\tilde {G}}_{2}$ / ${\tilde {F}}_{4}$ / ${\tilde {E}}_{n-1}$
E²	고른 테셀레이션	{3^[3]}	δ₃	hδ₃	qδ₃	정육각형
E³	볼록한 고른 벌집	{3^[4]}	δ₄	hδ₄	qδ₄
E⁴	고른 4-벌집	{3^[5]}	δ₅	hδ₅	qδ₅	정이십사포체 벌집
E⁵	고른 5-벌집	{3^[6]}	δ₆	hδ₆	qδ₆
E⁶	고른 6-벌집	{3^[7]}	δ₇	hδ₇	qδ₇	2₂₂
E⁷	고른 7-벌집	{3^[8]}	δ₈	hδ₈	qδ₈	1₃₃ • 3₃₁
E⁸	고른 8-벌집	{3^[9]}	δ₉	hδ₉	qδ₉	1₅₂ • 2₅₁ • 5₂₁
E⁹	고른 9-벌집	{3^[10]}	δ₁₀	hδ₁₀	qδ₁₀
E^n-1	고른 n-벌집	{3^[n]}	δ_n	hδ_n	qδ_n	1_k2 • 2_k1 • k₂₁

[1] Tilings and Patterns, from list of 107 isohedral tilings, p.473-481

[Critchlow-2] Order in Space: A design source book, Keith Critchlow, p.74-75, circle pattern 3

[3] Coxeter, Regular Complex Polytopes, pp. 111-112, p. 136.

[1]

[2]

[3]

자기쌍대	쌍대

4{4}4 또는	2{8}4 또는	4{8}2 또는