사인-고든 방정식

(사인-고든 모형에서 넘어옴)

수학 및 물리학에서 사인-고든 방정식(영어: sine–Gordon equation)은 솔리톤 해를 가지는 비선형 쌍곡 편미분 방정식으로, 적분가능계를 대표하는 예이다.

이 방정식은 단진자 운동 을 2차원 시공간으로 확장한 것으로도 볼 수 있다.

역사와 어원

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1862년에 에드몽 부르(프랑스어: Edmond Bour)가 최초로 연구하였다.[1] 1939년에 야코프 프렌켈(러시아어: Яков Ильич Френкель)과 콘토로바(러시아어: Т. М. Конторова)가 재발견하였다.[2]

"사인-고든"이라는 이름은 클라인-고든 방정식에 빗댄 말장난인데, 이는 사인고든 방정식이 클라인-고든 방정식 중 질량항을 사인 함수 모양 퍼텐셜로 바꾼 꼴이므로, "클라인"을 각운(脚韻)이 같은 "사인"으로 대체한 것이다.

정의

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2차원 시공간  에서, 사인-고든 방정식은 다음과 같다.

 

(※  를 뜻한다.)

이는 다음과 같은 라그랑지언 밀도로부터 유도할 수 있다.

 

즉, 퍼텐셜이

 

인 스칼라 장론이다.

공식

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 이 사인고든방정식을 만족하는 답이면 아래 공식을 통해 또다른 답  을 구할 수 있다.

 
 

(※ a는 상수)

위 공식은 아래 식들을 통해 만들어진다.

 
 

솔리톤 해

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사인-고든 방정식은 다음과 같은 솔리톤 해를 갖는다.

 

이는 속도  로 움직이고, 초기 위치가  인 솔리톤을 나타낸다.

1-솔리톤 풀이

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 일때는

 

이니, 양변에다  를 곱한 뒤 적분하면

 
 

(※ m은 상수)

이 되어, 이걸 2로 나눠주면 사인고든 방정식이

 

으로 바뀐다.

그다음  로 잡으면  이니, 양변에  를 곱하고 정리해보면 야코비 타원함수 sn에 대한 방정식

 

이 나와

 

임을 알수있고 이걸 아까 바꾸는 식에다 넣고 정리하면

 

이 된다.

이 식에서 m=1로 놓고 정리한 뒤 로런츠 변환을 시키면 위에서 말한 식이 나온다.

2-솔리톤 풀이

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양자화

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사인-고든 모형은 양자화할 수 있다.[3] 양자화하면 플랑크 상수에 해당하는 매개변수가 하나 더 추가되며, 이에 따라서 입자 스펙트럼이 달라진다. 이 모형의 산란 행렬은 해석적으로 계산 가능하며, 이는 티링 모형S-이중성을 통해 동형이다.[4]

같이 보기

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각주

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  1. Bour, Edmond (1862). “Théorie de la déformation des surfaces”. 《Journal de l’École impériale polytechnique》 (프랑스어) 39: 1–48. 
  2. Френкель, Я. И.; Т. М. Конторова (1939). “К теории пластической деформации и двойникования”. 《Физический журнал》 (러시아어) 1: 137–149. 
  3. Faddeev, L. D.; V. E. Korepin (1978). “Quantum theory of solitons”. 《Physics Reports》 (영어) 42 (1): 1–87. Bibcode:1978PhR....42....1F. doi:10.1016/0370-1573(78)90058-3. 
  4. Coleman, Sidney (1975). “Quantum sine–Gordon equation as the massive Thirring model”. 《Physical Review D》 (영어) 11 (8): 2088–2097. Bibcode:1975PhRvD..11.2088C. doi:10.1103/PhysRevD.11.2088. 

외부 링크

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