산란 이론에서 산란 행렬 (散亂行列, 영어 : scattering matrix ) 또는 S행렬 이란 산란 과정을 겪는 소립자 [ 1] 또는 계 의 초기 상태와 나중 상태를 연관짓는 유니터리 행렬 이다. 기호는 S . 이를 이용하여 산란 단면적 이나 붕괴율 따위를 계산할 수 있다. 양자장론 에서는 산란 행렬을 파인먼 도형 으로 계산할 수 있다.
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
복소수 힐베르트 공간
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
자기 수반 작용소
H
0
:
dom
H
0
→
H
{\displaystyle H_{0}\colon \operatorname {dom} H_{0}\to {\mathcal {H}}}
,
dom
H
0
⊆
H
{\displaystyle \operatorname {dom} H_{0}\subseteq {\mathcal {H}}}
. 이를 자유 해밀토니언 (영어 : free Hamiltonian )이라고 하자.
자기 수반 작용소
H
:
dom
H
→
H
{\displaystyle H\colon \operatorname {dom} H\to {\mathcal {H}}}
,
dom
H
⊆
H
{\displaystyle \operatorname {dom} H\subseteq {\mathcal {H}}}
. 이를 상호 작용 해밀토니언 (영어 : interacting Hamiltonian )이라고 하자.
복소수 힐베르트 공간 위의 임의의 자기 수반 작용소
A
{\displaystyle A}
에 대하여, 그 스펙트럼 의 분해를 통해
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
를
H
=
H
ac
,
A
⊕
H
sc
,
A
⊕
H
pp
,
A
{\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{{\text{ac}},A}\oplus {\mathcal {H}}_{{\text{sc}},A}\oplus {\mathcal {H}}_{{\text{pp}},A}}
로 분해할 수 있다. 여기서
H
ac
,
A
{\displaystyle {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},A}}
는 완전 연속 스펙트럼(영어 : purely continuous spectrum )에 대응한다.
H
sc
,
A
{\displaystyle {\mathcal {H}}_{{\text{sc}},A}}
는 특이 연속 스펙트럼(영어 : singular continuous spectrum )에 대응한다.
H
pp
,
A
{\displaystyle {\mathcal {H}}_{{\text{pp}},A}}
는 순수 점 스펙트럼(영어 : purely point spectrum )에 대응한다.
마찬가지로, 위 부분 공간들에 대한 사영 작용소
proj
ac
,
A
,
proj
sc
,
A
,
proj
pp
,
A
:
H
→
H
{\displaystyle \operatorname {proj} _{{\text{ac}},A},\operatorname {proj} _{{\text{sc}},A},\operatorname {proj} _{{\text{pp}},A}\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}
를 정의할 수 있다.
또한, 자기 수반 작용소 에 대한 보렐 범함수 미적분학(영어 : Borel functional calculus )을 통해,
x
↦
exp
(
i
t
x
)
{\displaystyle x\mapsto \exp(\mathrm {i} tx)}
는 유계 함수 이므로, 임의의
t
∈
R
{\displaystyle t\in \mathbb {R} }
에 대하여 유니터리 작용소
exp
(
i
t
H
0
)
:
H
→
H
{\displaystyle \exp(\mathrm {i} tH_{0})\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}
exp
(
i
t
H
)
:
H
→
H
{\displaystyle \exp(\mathrm {i} tH)\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}
를 정의할 수 있다.
이제,
H
0
{\displaystyle H_{0}}
와
H
{\displaystyle H}
에 대한 파동 연산자 (波動演算子, 영어 : wave operator )는 (만약 존재한다면) 다음과 같은 극한이다.[ 2] :Definition 1.1
W
±
(
H
,
H
0
)
:
H
→
H
{\displaystyle \operatorname {W} _{\pm }(H,H_{0})\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}
W
±
(
H
,
H
0
)
=
lim
t
→
∞
exp
(
±
i
H
t
)
exp
(
∓
i
H
0
t
)
proj
ac
,
H
0
{\displaystyle \operatorname {W} _{\pm }(H,H_{0})=\lim _{t\to \infty }\exp(\pm \mathrm {i} Ht)\exp(\mp \mathrm {i} H_{0}t)\operatorname {proj} _{{\text{ac}},H_{0}}}
여기서 극한 은 점별 (노름) 수렴 위상에 대한 것이다. 부호가 −인 경우는 들어오는 파동, +인 경우는 나가는 파동에 해당한다. 만약
W
±
(
H
,
H
0
)
{\displaystyle W_{\pm }(H,H_{0})}
의 치역 이
H
ac
,
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H}}
라면 파동 연산자를 완비 파동 연산자 (完備波動演算子, 영어 : complete wave operator )라고 하며,[ 2] :Definition 1.2 이는
H
ac
,
H
0
{\displaystyle {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H_{0}}}
와
H
ac
,
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H}}
사이의 복소수 힐베르트 공간 동형 사상(전단사 유니터리 작용소 )을 정의한다.
H
0
{\displaystyle H_{0}}
와
H
{\displaystyle H}
에 대한 산란 연산자 (散亂演算子, 영어 : scattering operator ) 또는 산란 행렬 은 다음과 같다.[ 2]
S
(
H
,
H
0
)
:
H
→
H
{\displaystyle \operatorname {S} (H,H_{0})\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}
S
(
H
,
H
0
)
=
W
+
∗
(
H
,
H
0
)
W
−
(
H
,
H
0
)
{\displaystyle \operatorname {S} (H,H_{0})=\operatorname {W} _{+}^{*}(H,H_{0})\operatorname {W} _{-}(H,H_{0})}
만약 ± 파동 연산자가 둘 다 완비 파동 연산자라면, 이는 전단사 유니터리 변환
(
S
(
H
,
H
0
)
↾
H
ac
,
H
0
)
:
H
ac
,
H
0
→
H
ac
,
H
{\displaystyle (\operatorname {S} (H,H_{0})\upharpoonright {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H_{0}})\colon {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H_{0}}\to {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H}}
를 정의한다.
간혹 T 연산자 를
T
(
H
,
H
0
)
=
−
i
(
S
(
H
,
H
0
)
−
proj
ac
,
H
0
)
{\displaystyle \operatorname {T} (H,H_{0})=-\mathrm {i} (\operatorname {S} (H,H_{0})-\operatorname {proj} _{{\text{ac}},H_{0}})}
로 정의한다. 즉,
H
ac
,
H
0
{\displaystyle {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H_{0}}}
에 제한하면,
S
=
i
T
{\displaystyle \operatorname {S} =\mathrm {i} T}
이다. 이는 산란 과정 가운데 관측할 수 있는 부분 (초기 상태와 다른 부분)을 나타낸다.
파동 연산자는 (만약 존재한다면) 다음과 같은 성질을 만족시킨다.
W
±
(
H
,
H
0
)
H
0
=
H
W
±
(
H
,
H
0
)
{\displaystyle \operatorname {W} _{\pm }(H,H_{0})H_{0}=H\operatorname {W} _{\pm }(H,H_{0})}
산란 연산자는 (만약 존재한다면) 자유 해밀토니언 연산자와 가환한다.
S
(
H
,
H
0
)
H
0
=
H
0
S
(
H
,
H
0
)
{\displaystyle \operatorname {S} (H,H_{0})H_{0}=H_{0}\operatorname {S} (H,H_{0})}
위그너 정리 에 따라, 만약
W
±
(
H
,
H
0
)
{\displaystyle \operatorname {W} _{\pm }(H,H_{0})}
가 둘 다 완비라면,
S
(
H
,
H
0
)
↾
H
ac
,
H
0
{\displaystyle \operatorname {S} (H,H_{0})\upharpoonright {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H_{0}}}
는
H
ac
,
H
0
→
H
ac
,
H
0
{\displaystyle {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H_{0}}\to {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H_{0}}}
유니터리 작용소 이다.
르베그 공간
H
=
L
2
(
R
n
;
C
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}=\operatorname {L} ^{2}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {C} )}
위의 다음과 같은 두 자기 수반 작용소 를 생각해보자.
H
0
=
Δ
+
V
0
(
x
)
{\displaystyle H_{0}=\Delta +V_{0}(x)}
H
0
=
Δ
+
V
0
(
x
)
+
V
(
x
)
{\displaystyle H_{0}=\Delta +V_{0}(x)+V(x)}
V
0
,
V
∈
L
∞
(
R
n
;
R
)
{\displaystyle V_{0},V\in \operatorname {L} ^{\infty }(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}
sup
x
∈
R
n
V
(
x
)
(
1
+
x
2
)
k
/
2
<
∞
{\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}V(x)(1+x^{2})^{k/2}<\infty }
여기서
k
∈
R
{\displaystyle k\in \mathbb {R} }
는 어떤 실수이며,
Δ
=
−
∑
i
=
1
n
∂
2
/
∂
x
i
2
{\displaystyle \textstyle \Delta =-\sum _{i=1}^{n}\partial ^{2}/\partial x_{i}^{2}}
는 라플라스 연산자 이다.
위와 같은 경우, 다음 조건 아래 완비 과거·미래 파동 연산자 및 산란 연산자가 존재한다.
k
>
n
{\displaystyle k>n}
[ 2] :Theorem 1.7
V
0
=
0
{\displaystyle V_{0}=0}
이며,
k
>
1
{\displaystyle k>1}
[ 2] :Theorem 2.4
반면, 예를 들어
V
0
=
0
{\displaystyle V_{0}=0}
,
V
(
x
)
=
(
1
+
x
2
)
−
2
{\displaystyle V(x)=(1+x^{2})^{-2}}
일 때는 파동 연산자가 존재하지 않는다.[ 2] :§3.1
Yafaev, Dmitry R. (1995). 《Mathematical scattering theory: the general theory》 . Translations of Mathematical Monographs (영어). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0951-8 .
Yafaev, Dmitry R. (2010). 《Mathematical scattering theory: analytic theory》. Mathematical Surveys and Monographs (영어) 158 . American Mathematical Society. doi :10.1090/surv/158 .
Baumgärtel, Hellmut; Wollenberg, Manfred (1983). 《Mathematical Scattering Theory》. Operator theory: advances and applications (영어) 9 . ISBN 978-3-0348-5442-9 .
Simon, Barry (1978). 〈An overview of rigorous scattering theory〉 (PDF) . Nuttal, J. 《Atomic scattering theory: mathematical and computational aspects》 (영어). University of West Ontario. 1–24쪽.
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