위에서 적었듯이, 일변수 함수의 점
x
{\displaystyle x}
d
y
{\displaystyle dy}
d
x
=
Δ
x
{\displaystyle dx=\Delta x}
선형 함수 이다:
d
y
(
x
,
d
x
)
=
f
′
(
x
)
d
x
{\displaystyle dy(x,dx)=f'(x)dx}
이러한
d
y
{\displaystyle dy}
f
′
(
x
)
=
d
y
d
x
{\displaystyle f'(x)={\frac {dy}{dx}}}
조금 더 자세히 말해, 어떤 상수
c
{\displaystyle c}
Δ
y
=
c
Δ
x
+
α
Δ
x
,
α
→
0
(
Δ
x
→
0
)
{\displaystyle \Delta y=c\Delta x+\alpha \Delta x,\ \alpha \to 0\ (\Delta x\to 0)}
일 필요충분조건은, 그 점에서
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
c
=
f
′
(
x
)
{\displaystyle c=f'(x)}
함수
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
d
u
{\displaystyle du}
d
v
{\displaystyle dv}
선형성
d
(
u
+
v
)
=
d
u
+
d
v
{\displaystyle d(u+v)=du+dv}
d
(
c
u
)
=
c
d
u
{\displaystyle d(cu)=cdu}
c 곱셈
d
(
u
v
)
=
v
d
u
+
u
d
v
{\displaystyle d(uv)=vdu+udv}
나눗셈
d
(
u
v
)
=
v
d
u
−
u
d
v
v
2
{\displaystyle d({\frac {u}{v}})={\frac {vdu-udv}{v^{2}}}}
함수
y
=
f
(
u
)
{\displaystyle y=f(u)}
u
{\displaystyle u}
d
y
=
f
′
(
u
)
d
u
{\displaystyle dy=f'(u)du}
한편 함수
y
=
f
(
u
)
{\displaystyle y=f(u)}
u
=
g
(
x
)
{\displaystyle u=g(x)}
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
y
=
f
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle y=f(g(x))}
u
{\displaystyle u}
x
{\displaystyle x}
d
y
=
f
′
(
g
(
x
)
)
g
′
(
x
)
d
x
{\displaystyle dy=f'(g(x))g'(x)dx}
이때
g
′
(
x
)
d
x
{\displaystyle g'(x)dx}
d
u
{\displaystyle du}
f
′
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle f'(g(x))}
f
′
(
u
)
{\displaystyle f'(u)}
d
y
=
f
′
(
u
)
d
u
{\displaystyle dy=f'(u)du}
이는
u
{\displaystyle u}
y
{\displaystyle y}
d
y
{\displaystyle dy}
u
{\displaystyle u}
d
(
sin
(
ln
x
)
)
=
cos
(
ln
x
)
d
(
ln
x
)
=
cos
(
ln
x
)
⋅
1
x
d
x
{\displaystyle d(\sin(\ln x))=\cos(\ln x)d(\ln x)=\cos(\ln x)\cdot {\frac {1}{x}}dx}
d
x
=
c
d
y
⟹
d
y
=
1
c
d
x
{\displaystyle dx=cdy\Longrightarrow dy={\frac {1}{c}}dx}
이러한 결론은 다변수 함수의 미분에서도 성립한다. 고계 미분에서는 성립하지 않는다는 점은 주의할 가치가 있다.
(a , f (a )) 에서의 접선(tangent).함수의 증가량에서 그 점에서의 미분을 제외하고 나면
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
α
Δ
x
{\displaystyle \alpha \Delta x}
Δ
y
=
d
y
+
α
Δ
x
,
α
→
0
(
Δ
x
→
0
)
{\displaystyle \Delta y=dy+\alpha \Delta x,\ \alpha \to 0\ (\Delta x\to 0)}
따라서 함수의 미분은 그 점과 가까운 곳에서의 증가량을 근사하는 데에 사용된다:
Δ
y
≈
d
y
=
f
′
(
x
)
Δ
x
{\displaystyle \Delta y\approx dy=f'(x)\Delta x}
즉
f
(
x
′
)
≈
f
(
x
)
+
f
′
(
x
)
Δ
x
,
x
′
=
x
+
Δ
x
{\displaystyle f(x')\approx f(x)+f'(x)\Delta x,\ x'=x+\Delta x}
이는 결과적으로 임의의 함수를 선형 함수로 근사한 것이 된다. 예를 들어,
e
0.1
{\displaystyle e^{0.1}}
e
x
≈
e
0
+
(
e
x
)
′
(
x
−
0
)
=
1
+
x
,
x
≪
1
{\displaystyle e^{x}\approx e^{0}+(e^{x})'(x-0)=1+x,\ x\ll 1}
이렇게 추정한
e
0.1
{\displaystyle e^{0.1}}
1.1051709... )
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