소멸자

환론에서 소멸자(消滅子, 영어: annihilator)는 가군의 주어진 부분 집합을 모두 0에 대응시키는 환 원소들로 구성된 아이디얼이다.

정의

환 $R$ 의 왼쪽 가군 $_{R}M$ 의 부분 집합 $S\subseteq M$ 의 소멸자 $\operatorname {Ann} _{R}S$ 는 다음과 같은 $R$ 의 부분 집합이다.

\operatorname {Ann} _{R}S=\{r\in R\colon rS=\{0\}\}

마찬가지로, 환 $R$ 의 오른쪽 가군 $M_{R}$ 의 부분 집합 $S\subseteq M$ 의 소멸자 $\operatorname {Ann} _{R}S$ 는 다음과 같은 $R$ 의 부분 집합이다.

\operatorname {Ann} _{R}S=\{r\in R\colon Sr=\{0\}\}

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 또는 오른쪽 가군 $M$ 에 대하여, 만약 $\operatorname {Ann} _{R}M=\{0\}$ 이라면, $M$ 을 충실한 가군(영어: faithful module)이라고 한다.

왼쪽 가군의 부분 집합의 소멸자는 왼쪽 아이디얼을 이룬다. 마찬가지로, 오른쪽 가군의 부분 집합의 소멸자는 오른쪽 아이디얼을 이룬다. 왼쪽 또는 오른쪽 가군 $M$ 의 부분 가군 $N\subseteq M$ 이 주어졌을 때, $\operatorname {Ann} _{R}N$ 은 양쪽 아이디얼을 이룬다.

가환환 $R$ 의 가군 $M$ 의 소멸자 $\operatorname {Ann} _{R}M$ 은 환 준동형

R\to \operatorname {End} _{R}M

r\mapsto (m\mapsto rm)

의 핵이다.

“Annihilator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Annihilator”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Faithful module”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.