소파 옮기기 문제

수학의 미해결 문제 단위 너비의 ㄱ자 복도를 통과할 수 있는 모양의 최대 넓이는 얼마인가? (더 많은 수학의 미해결 문제 보기)

소파 옮기기 문제(영어: Moving sofa problem) 또는 소파 문제(영어: Sofa problem)는 폭이 1인 복도에서 직각의 모서리를 끼고 있는 복도가 있을 때, 이 공간을 통과할 수 있는 단면적 A가 최대인 소파를 찾는 문제이다. 1966년에 제기된 이후 미해결 문제로 남아 있다. A는 소파 상수라고 불린다. 소파 상수의 상한은 미증명되었다.

조건

소파 옮기기 문제에서는 조건이 있다.

1. 복도의 높이는 고려하지 않는다.
2. 복도의 길이는 결과와 무관하다.

역사

이 문제는 최초로 공식적으로 오스트리아-캐나다인 수학자 레오 모서(Leo Moser)에 의해 1966년에 제시되었다. 하지만 그 전에도 비공식적인 언급이 많이 있었다.

옮기기 가능한 도형

다음은 옮기기 가능하다고 증명된 도형 중 일부이다.

종류	설명	넓이
선분	길이 $2{\sqrt {2}}$	0
정사각형	한 변의 길이 $1$	$1$
직사각형		$1$
삼각형	밑변 $2$, 높이 $1$	$1$
반원	반지름의 길이 $1$	${\frac {\pi }{2}}\approx 1.57$
좌우이심의 소파		$\approx 1.645$
해머즐리 소파		${\frac {\pi }{2}}+{\frac {2}{\pi }}\approx 2.2074$
게르버 소파		$\approx 2.2195$

면적의 상한과 하한

헤머슬리 소파(Hammersley sofa)의 면적은 약 2.2074이지만 게르버 소파의 면적보다 더 작다.

게르버(Gerver's sofa)의 면적은 약 2.2195이며 현재까지 알려진 가장 큰 하한이다.

로믹(Romik)의 좌우이심 소파(Ambidextrous sofa)

소파의 단면적 A의 상한과 하한에 대한 연구가 많이 이루어졌다.

하한

반지름의 길이가 1인 반원은 회전 이동을 통해 모서리를 통과할 수 있으니, 하한은 반원의 넓이 ${\frac {\pi }{2}}\approx 1.57$ 보다 크다.

존 해머슬리(John Hammersley)가 고안한 해머슬리 소파(Hammersley's sofa)는 가로 $4/\pi$ 세로 1인 직사각형에서 반지름이 $2/\pi$인 반원을 잘라내어서 넓이가 $2/\pi$ 인 도형 1개와, 반지름이 1이고 넓이가 각각 $\pi /4$ 인 사분면 2개로 이루어져 있다. 따라서 총 넓이가 가운데 부분 $2/\pi$ 와 양 끝 부채꼴 $\pi /2$를 더한 값인 ${\frac {\pi }{2}}+{\frac {2}{\pi }}\approx 2.2074$이다.

1992년 조제프 게르버(Joseph Gerver)가 고안한 게르버 소파(Gerver's sofa)는 해머슬리 소파와 비슷하지만, 18개의 곡선으로 이루어져 있다. 넓이는 약 $2.2195$이다. 해머슬리 소파보다 약 0.01 더 넓다.

상한

해머슬리는 소파 상수의 상계도 찾았다. $2{\sqrt {2}}\approx 2.8284$이다.

요아브 캘러스(Yoav Kallus)와 단 로믹(Dan Romik)은 새로운 상계를 2017년 9월에 증명했다. 값이 더 낮아진 $2.37$이다.

좌우이심의 소파

단 로믹(Dan Romik)이 고안한 좌우이심(左右二心)의 소파는 게르버 소파보다 더 아름다운 모양이다. 면적 공식은 다음과 같다. ${\sqrt[{3}]{3+2{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{3-2{\sqrt {2}}}}-1+\tan ^{-1}\left\{{1 \over 2}\left({\sqrt[{3}]{{\sqrt {2}}+1}}-{\sqrt[{3}]{{\sqrt {2}}-1}}\right)\right\}\approx 1.645$

같이 보기

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