시작 대상과 끝 대상

범주론에서 시작 대상(始作對象, 영어: initial object)과 끝 대상(-對象, 영어: terminal object)은 매우 단순하여, 이 대상을 정의역 또는 공역으로 하는 사상이 하나밖에 없는 대상이다.

정의

범주 ${\mathcal {C}}$의 대상 $X$가 주어졌다고 하자.

• 만약 모든 $Y\in {\mathcal {C}}$에 대하여 $\hom(X,Y)$가 하나의 원소만을 갖는다면, $X$를 ${\mathcal {C}}$에서의 시작 대상이라고 한다.
• 만약 모든 $Y\in {\mathcal {C}}$에 대하여 $\hom(Y,X)$가 하나의 원소만을 갖는다면, $X$를 ${\mathcal {C}}$에서의 끝 대상이라고 한다.
• 만약 $X$가 ${\mathcal {C}}$에서의 시작 대상이자 끝 대상일 경우, $X$를 ${\mathcal {C}}$에서의 영 대상(零對象, 영어: zero object)이라고 한다.

성질

모든 대수 구조 다양체의 범주는 (완비 범주이자 쌍대 완비 범주이므로) 시작 대상과 끝 대상을 갖는다. 시작 대상은 한원소 집합 위의 대수 구조이며, 끝 대상은 한원소 집합으로 생성되는 자유 대수이다. 시작 대상과 끝 대상은 같을 수도, 다를 수도 있다.

모든 아벨 범주는 정의에 따라 영 대상을 갖는다.

예

범주	시작 대상	끝 대상
집합의 범주 $\operatorname {Set}$	공집합 $\varnothing$	한원소 집합 $\{\bullet \}$
위상 공간의 범주 $\operatorname {Top}$	공공간 $\varnothing$	한원소 공간 $\{\bullet \}$
위상 공간의 호모토피 범주 $\operatorname {hTop}$	공공간 $\varnothing$	한원소 공간 $\{\bullet \}$
작은 범주의 범주 $\operatorname {Cat}$	공범주 $0$	하나의 대상과 그 상수사상만을 갖는 범주 $\mathbf {1}$
모노이드의 범주 $\operatorname {Mon}$	자명 모노이드
군의 범주 $\operatorname {Grp}$	자명군 1
아벨 군의 범주 $\operatorname {Ab}$	자명군 0
(단위원을 갖는) 환의 범주	정수환 $\mathbb {Z}$	자명환 0
(단위원을 갖는) 가환환의 범주 $\operatorname {CRing}$	정수환 $\mathbb {Z}$	자명환 0
유사환의 범주 $\operatorname {Rng}$	자명환 0
아핀 스킴의 범주 $\operatorname {Aff} \simeq \operatorname {CRing} ^{\operatorname {op} }$	자명환의 스펙트럼 $\operatorname {Spec} 0=\varnothing$	정수환의 스펙트럼 $\operatorname {Spec} \mathbb {Z}$
스킴의 범주 $\operatorname {Sch}$	자명환의 스펙트럼 $\operatorname {Spec} 0=\varnothing$	정수환의 스펙트럼 $\operatorname {Spec} \mathbb {Z}$
체의 범주 $\operatorname {Field}$	(없음)
범주로 간주한 부분 순서 집합 ($\hom(a,b)\neq \varnothing \iff a\leq b$)	(만약 존재한다면) 최소 원소	(만약 존재한다면) 최대 원소
범주로 간주한, 자명하지 않은 모노이드	(없음)
하나의 대상과 그 항등 사상만을 갖는 범주 $1=\{\bullet \}$	유일한 대상 $\bullet$

참고 문헌

• Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• “Final object”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Initial object”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Terminal object”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.