십팔진법

십팔진법(十八進法, octodecimal)은 18을 밑으로 하는 기수법이다. 통일된 표기법은 따로 없으나 0부터 9까지의 숫자와 A부터 H까지의 로마자를 이용하여 숫자를 표기하며, 이 때 로마자의 경우에는 대소문자를 구분하지 않는다.

기수법

육진법	1	2	3	4	5	10	11	12	13	14	15	20	21	22	23	24	25	30	31	32
십진법	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
십이진법	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	10	11	12	13	14	15	16	17	18
십팔진법	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	G	H	10	11	12
이십진법	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	10

"9+1 = 10” "5×2 = 10"로 계산하는 방법이 십진법인데 대해, "9+9 = 10" "9×2 = 10"로 계산하는 방법이 십팔진법이다. 수열도 십진수 18이 열 여덟 진수 10이된다. 약수에 9가 포함되어 있기 때문에 "3 개씩" ”6 개씩” ”9 개씩”등 3의 배수 카운트하거나 "1/3" "1/6" "1/9"등 3 배수로 나눌 매우 쉽다.

숫자가 증가 속도는 십팔진수 4 자리가 십진수 5 자리에 해당하고 (10000₍₁₈₎ = 104976₍₁₀₎ = 2130000₍₆₎), 십팔진수 5 자리가 육진수 8 자리 (100000₍₁₈₎ = 104300000₍₆₎ = 1889568₍₁₀₎) 에 해당한다.

정수의 예

18 = 십진법 26 (1×18 + 8)
20 = 육진법 100 = 십진법 36 (2×18)
2D = 십진법 49 (2×18 + 13)
3A = 육진법 144 = 십진법 64 (3×18 + 10)
49 = 십진법 81 (4×18 + 9)
5A = 십진법 100 (5×18 + 10)
80 = 십이진법 100 = 십진법 144 (8×18)
90 = 십진법 162 (9×18)
C6 = 십진법 222 (12×18 + 2)
D9 = 십진법 243 (13×18 + 9)
E4 = 십육진법 100 = 십진법 256 (14×18 + 4)
100 = 십진법 324 (1×18²)
249 = 구진법 1000 = 십진법 729 (2×18² + 4×18¹ + 9)
31A = 십진법 1000 (3×18² + 1×18¹ + 10)
500 = 십진법 1620 (5×18²)
632 = 십진법 2000 (6×18² + 3×18¹ + 2)
E5F = 십진법 4713 (14×18² + 5×18¹ + 15)
1000 = 십진법 5832 (1×18³)
1249 = 구진법 10000 = 십진법 6561 (1×18³ + 2×18² + 4×18¹ + 9)
1CFA = 십진법 10000 (1×18³ + 12×18² + 15×18¹ + 10)
8000 = 육진법 1,000,000 = 십진법 46656 (8×18³)
ABCD = 십진법 62113 (10×18³ + 11×18² + 12×18¹ + 13)
10000 = 십진법 104976 (1×18⁴)
2F000 =십진법 297432 (2×18⁴ + 15×18³)

사칙 연산의 예

십진법 81 + 19 = 100 → 십팔진법 49 + 11 = 5A
십진법 2000 - 56 = 1944 → 십팔진법 632 - 32 = 600
십진법 4 × 9 = 36 → 십팔진법 4 × 9 = 20
십진법 99 × 81 = 8019 → 십팔진법 59 × 49 = 16D9
십진법 360 ÷ 9 = 40 → 십팔진법 120 ÷ 9 = 24
십진법 1620 ÷ 6 = 270 → 십팔진법 500 ÷ 6 = F0

가분성

육 (2×3)부터 이십 (4×5)까지 중 소인수가 "2,3,5 중 하나의 조합"의 수는 총 6가지이지만, 십팔은 소인수분해하면 2×3²이며, 3의 멱 지수가 2개로된다. 십진법으로 "십팔"이지만 실질적으로는 "세육" 또는"이구" 라고 말할 수이다.

십팔(10₍₁₈₎, 18₍₁₀₎)의 약수는 2, 3, 6, 9가 된다. 따라서, 1/2, 1/3, 1/9이 나누어 떨어질 수 있다는 점에서 육진법 및 십이진법과 같은 장점을 가진다. 육진법과 십이진법에서는 구 분할은 두 자리에서 가능하지만, 십팔진법으로 한 자리에서 구 분할이 가능하다. 십팔은 단 짝수이지만 3의 멱 지수가 2 개이므로, 1/4 (2^-2)의 소수는 육진법 (분자가 3²)와 십진법 (분자가 5²)과는 달리 분자가 3⁴이다. 따라서, 4의 배수는 십진법의 곱셈 표와 같이 49₍₁₈₎ = 81₍₁₀₎ 종류가된다.

또한 십팔진법에서는 단일 자리 소수의 순환 절이 짧은 것도 특징이다. 순환 절이 가장 오랜 것은 1/B이고 십 자리로되어, 2, 3, 5, 7는 2 승까지 모두 4 자리 이하가된다. 이것은 7³이 111이되고, 5²와 D의 곱이 101이되고, H와 11가 10에서 하나 밖에 떨어져 있지 않기 때문이다. 1000 (십진법 5832)의 하나 전의 HHH는 7³의 배수이며, 10000 (십진법 104976)의 하나 전의 HHHH는 5², D, H, 11의 배수이다.

따라서, 12 (이십)까지의 역수는 B를 제외하고 순환 절이 4 자리 이하로 줄어들어, 백 (십진법 100, 십팔진법 5A) 이하의 정사각 수의 역수는 나뉘어 떨어지지 않는 소수도 모든 순환 절은 4 자리 이하가된다. 또한, 5^-3 (십팔진법 1/6H)는 순환 절이 이십 자리가된다.

주요 분수

1/2 = 0.9
1/3 = 0.6
2/3 = 0.C
1/4 = 0.49
3/4 = 0.D9

1/5 = 0.3AE7…
2/5 = 0.73AE…
3/5 = 0.AE73…
4/5 = 0.E73A…
1/6 = 0.3
5/6 = 0.F

1/9 = 0.2
2/9 = 0.4
4/9 = 0.8
5/9 = 0.A
7/9 = 0.E
8/9 = 0.G

20 (육진법100 = 십진법36) 까지의 주요 단위 분수

1/2 = 0.9 (육진법 0.3 , 십이진법 0.6 , 십진법 0.5 , 이십진법 0.A)
1/3 = 0.6 (육진법 0.2 , 십이진법 0.4 , 십진법 0.3333… , 이십진법 0.6D6D…)
1/4 = 0.49 (2^-2 : 육진법 0.13 , 십이진법 0.3 , 십진법 0.25, 이십진법 0.5)
1/5 = 0.3AE7… (육진법 0.1111…, 십이진법 0.2497…, 십진법 0.2, 이십진법 0.4)
1/6 = 0.3 (육진법 0.1 , 십이진법 0.2 , 십진법 0.16666… , 이십진법 0.36D6D…)
1/7 = 0.2A5…
1/8 = 0.249 (육진법 0.043 , 십이진법 0.16, 십진법 0.125, 이십진법 0.2A)
1/9 = 0.2 (3^-2 : 육진법 0.04 , 십이진법 0.14 , 십진법 0.1111… , 이십진법 0.248HFB…)
1/A = 0.1E73A… (육진법 0.03333…, 십이진법 0.12497…, 십진법 0.1, 이십진법 0.2)
1/B = 0.1B834G69ED…
1/C = 0.19 (육진법 0.03 , 십이진법 0.1 , 십진법 0.08333… , 이십진법 0.1D6D6…)
1/D = 0.16GB…
1/E = 0.152A…
1/F = 0.13AE7…
1/G = 0.1249 (2^-4 : 육진법 0.0213 , 십이진법 0.09 , 십진법 0.0625 , 이십진법 0.15)
1/H = 0.1111…
1/10 = 0.1 (육진법 0.02 , 십이진법 0.08 , 십진법 0.05555… , 이십진법 0.1248HFB…)
1/11 = 0.0H0H…
1/12 = 0.0G3AE7… (육진법 0.01444…, 십이진법 0.07249…, 십진법 0.05, 이십진법 0.1)
1/16 = 0.0D9 (육진법 0.013 , 십이진법 0.06)
1/17 = 0.0CH5… (5^-2 : 육진법 0.01235…, 십진법 0.04, 이십진법 0.0G)
1/19 = 0.0C (3^-3 : 육진법 0.012 , 십이진법 0.054, 십진법 0.037…)
1/1E = 0.0A249 (2^-5 : 육진법 0.01043, 십이진법 0.046)
1/20 = 0.09 (6^-2 : 육진법 0.01 ; 십이진법 0.04 ; 십진법 0.02777…)

20에서 100까지

1/2C = 0.06D9 (육진법 0.0043 , 십이진법 0.03)
1/2D = 0.06B… (7^-2 : 육진법 1/121, 십진법 1/49)
1/30 = 0.06 (육진법 0.004, 십이진법 0.028, 십진법 1/54)
1/3A = 0.051249 (2^-6 : 육진법 0.003213, 십이진법 0.023, 십진법 1/64)
1/40 = 0.049 (육진법 0.003, 십이진법 0.02; 십진법 1/72)
1/49 = 0.04 (3^-4 : 육진법 0.0024 ; 십이진법 0.0194 ; 십진법 0.012345679…, 1/81)
1/56 = 0.036D9 (육진법 0.00213, 십이진법 0.016; 십진법 1/96)
1/5A = 0.0345DC… (A^-2 : 육진법 0.0020543… ; 십진법 0.01, 1/100 ; 이십진법 0.04)
1/60 = 0.03 (육진법 0.002, 십이진법 0.014; 십진법 1/108)
1/6H = 0.02ABE9E4AGHF76383D71… (5^-3 : 십진법 0.008, 1/125 ; 이십진법 0.034)
1/72 = 0.029A249 (2^-7 : 육진법 0.0014043, 십이진법 0.0116, 십진법 1/128)
1/80 = 0.0249 (육진법 0.0013, 십이진법 0.01, 십진법 1/144)
1/90 = 0.02 (육진법 0.0012, 십이진법 0.00A8, 십진법 1/162)
1/AC = 0.01C6D9 (육진법 0.001043, 십이진법 0.009, 십진법 1/192)
1/C0 = 0.019 (6^-3 : 육진법 0.001, 십이진법 0.008, 십진법 1/216)
1/D9 = 0.016 (3^-5 : 육진법 0.00052, 십이진법 0.00714, 십진법 1/243)
1/E4 = 0.014E1249 (2^-8 : 육진법 0.00050213, 십이진법 0.0069, 십진법 1/256)
1/G0 = 0.01249 (육진법 0.00043, 십이진법 0.006, 십진법 1/288)
1/100 = 0.01 (육진법 0.0004, 십이진법 0.0054, 십진법 1/324)

100 이상

1/160 = 0.00D9 (육진법 0.0004, 십이진법 0.0054, 십진법 1/432)
1/190 = 0.00C (육진법 0.00024, 십이진법 0.00368, 십진법 1/486)
1/249 = 0.008 (3^-6 : 육진법 0.000144, 십이진법 0.002454, 십진법 1/729)
1/490 = 0.004 (육진법 0.000052, 십이진법 0.001228, 십진법 1/1458)
1/560 = 0.0036D9 (육진법 0.000043, 십이진법 0.001; 십진법 1/1728)
1/6D9 = 0.002C (3^-7 : 육진법 0.0000332, 십이진법 0.0009594, 십진법 1/2187)
1/1000 = 0.001 (육진법 0.000012, 십이진법 0.000368, 십진법 1/5832)
1/1249 = 0.000G (3^-8 : 육진법 0.00001104, 십이진법 0.00031B14, 십진법 1/6561)

십팔진법

기수법

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