쌍곡 치환 은 삼각 치환 과 마찬가지로 완전 제곱꼴의 이차식이 나오는 함수를 적분하는 데 사용되는 기법이다. 구체적으로, 유리 함수
R
(
u
,
v
)
{\displaystyle R(u,v)}
a
>
0
{\displaystyle a>0}
[ 1] :135, Table 10.1
적분
삼각 치환
쌍곡 치환
∫
R
(
x
,
a
2
−
x
2
)
d
x
{\displaystyle \int R(x,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}})\mathrm {d} x}
x
=
a
sin
θ
{\displaystyle x=a\sin \theta }
x
=
a
tanh
t
{\displaystyle x=a\tanh t}
∫
R
(
x
,
x
2
+
a
2
)
d
x
{\displaystyle \int R(x,{\sqrt {x^{2}+a^{2}}})\mathrm {d} x}
x
=
a
tan
θ
{\displaystyle x=a\tan \theta }
x
=
a
sinh
t
{\displaystyle x=a\sinh t}
∫
R
(
x
,
x
2
−
a
2
)
d
x
{\displaystyle \int R(x,{\sqrt {x^{2}-a^{2}}})\mathrm {d} x}
x
=
a
sec
θ
{\displaystyle x=a\sec \theta }
x
=
a
cosh
t
{\displaystyle x=a\cosh t}
더 자세히는 다음과 같다.
적분
쌍곡 치환
사용된 항등식
∫
R
(
x
,
a
2
−
x
2
)
d
x
{\displaystyle \int R(x,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}})\mathrm {d} x}
x
=
a
tanh
t
{\displaystyle x=a\tanh t}
−
∞
<
t
<
∞
{\displaystyle -\infty <t<\infty }
a
2
−
x
2
=
a
sech
t
{\displaystyle {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}=a\operatorname {sech} t}
d
x
=
a
sech
2
t
d
t
{\displaystyle \mathrm {d} x=a\operatorname {sech} ^{2}t\mathrm {d} t}
1
−
tanh
2
t
=
sech
2
t
{\displaystyle 1-\tanh ^{2}t=\operatorname {sech} ^{2}t}
∫
R
(
x
,
x
2
+
a
2
)
d
x
{\displaystyle \int R(x,{\sqrt {x^{2}+a^{2}}})\mathrm {d} x}
x
=
a
sinh
t
{\displaystyle x=a\sinh t}
−
∞
<
t
<
∞
{\displaystyle -\infty <t<\infty }
x
2
+
a
2
=
a
cosh
t
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}=a\cosh t}
d
x
=
a
cosh
t
d
t
{\displaystyle \mathrm {d} x=a\cosh t\mathrm {d} t}
1
+
sinh
2
t
=
cosh
2
t
{\displaystyle 1+\sinh ^{2}t=\cosh ^{2}t}
∫
R
(
x
,
x
2
−
a
2
)
d
x
{\displaystyle \int R(x,{\sqrt {x^{2}-a^{2}}})\mathrm {d} x}
x
=
a
cosh
t
{\displaystyle x=a\cosh t}
x
>
a
{\displaystyle x>a}
0
<
t
<
∞
{\displaystyle 0<t<\infty }
x
2
−
a
2
=
a
sinh
t
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}=a\sinh t}
d
x
=
a
sinh
t
d
t
{\displaystyle \mathrm {d} x=a\sinh t\mathrm {d} t}
cosh
2
t
−
1
=
sinh
2
t
{\displaystyle \cosh ^{2}t-1=\sinh ^{2}t}
다음 예시는 쌍곡 치환
x
=
a
cosh
t
{\displaystyle x=a\cosh t}
a
>
0
,
x
>
a
{\displaystyle a>0,\;x>a}
[ 2] :481, Example 5 [ 3] :253, 例6.2.15
∫
d
x
x
2
−
a
2
{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}}
=
∫
a
sinh
t
d
t
a
sinh
t
{\displaystyle =\int {\frac {a\sinh t\mathrm {d} t}{a\sinh t}}}
(
x
=
a
cosh
t
,
0
<
t
<
∞
,
x
2
−
a
2
=
a
sinh
t
,
d
x
=
a
sinh
t
d
t
{\displaystyle x=a\cosh t,\;0<t<\infty ,\;{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}=a\sinh t,\;\mathrm {d} x=a\sinh t\mathrm {d} t}
=
∫
d
t
{\displaystyle =\int \mathrm {d} t}
=
t
+
C
{\displaystyle =t+C}
=
ln
|
x
+
x
2
−
a
2
|
+
C
{\displaystyle =\ln |x+{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}|+C}
(
t
=
ln
|
x
+
x
2
−
a
2
|
−
ln
a
{\displaystyle t=\ln |x+{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}|-\ln a}
다음 예시는 쌍곡 치환
x
=
a
sinh
t
{\displaystyle x=a\sinh t}
a
>
0
{\displaystyle a>0}
[ 3] :253, 例6.2.16 [ 4] :27, 例1
∫
d
x
x
2
+
a
2
{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}
=
∫
a
cosh
t
d
t
a
cosh
t
{\displaystyle =\int {\frac {a\cosh t\mathrm {d} t}{a\cosh t}}}
(
x
=
a
sinh
t
,
−
∞
<
t
<
∞
,
x
2
+
a
2
=
a
cosh
t
,
d
x
=
a
cosh
t
d
t
{\displaystyle x=a\sinh t,\;-\infty <t<\infty ,\;{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}=a\cosh t,\;\mathrm {d} x=a\cosh t\mathrm {d} t}
=
∫
d
t
{\displaystyle =\int \mathrm {d} t}
=
t
+
C
{\displaystyle =t+C}
=
ln
|
x
+
x
2
+
a
2
|
+
C
{\displaystyle =\ln |x+{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}|+C}
(
t
=
ln
|
x
+
x
2
+
a
2
|
−
ln
a
{\displaystyle t=\ln |x+{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}|-\ln a}
다음 예시는 쌍곡 치환
x
=
tanh
t
{\displaystyle x=\tanh t}
[ 4] :28, 例3
∫
1
−
x
2
d
x
{\displaystyle \int {\sqrt {1-x^{2}}}\mathrm {d} x}
=
∫
d
t
cosh
3
t
{\displaystyle =\int {\frac {\mathrm {d} t}{\cosh ^{3}t}}}
(
x
=
tanh
t
,
−
∞
<
t
<
∞
,
1
−
x
2
=
sech
t
d
x
=
sech
2
t
d
t
{\displaystyle x=\tanh t,\;-\infty <t<\infty ,\;{\sqrt {1-x^{2}}}=\operatorname {sech} t\mathrm {d} x=\operatorname {sech} ^{2}t\mathrm {d} t}
=
∫
cosh
t
d
t
cosh
4
t
{\displaystyle =\int {\frac {\cosh t\mathrm {d} t}{\cosh ^{4}t}}}
=
∫
d
u
(
u
2
+
1
)
2
{\displaystyle =\int {\frac {\mathrm {d} u}{(u^{2}+1)^{2}}}}
(
u
=
sinh
t
{\displaystyle u=\sinh t}
=
∫
d
u
u
2
+
1
−
∫
u
2
(
u
2
+
1
)
2
d
u
{\displaystyle =\int {\frac {\mathrm {d} u}{u^{2}+1}}-\int {\frac {u^{2}}{(u^{2}+1)^{2}}}\mathrm {d} u}
=
∫
d
u
u
2
+
1
+
1
2
∫
u
d
1
u
2
+
1
{\displaystyle =\int {\frac {\mathrm {d} u}{u^{2}+1}}+{\frac {1}{2}}\int u\mathrm {d} {\frac {1}{u^{2}+1}}}
=
∫
d
u
u
2
+
1
+
1
2
u
u
2
+
1
−
1
2
∫
d
u
u
2
+
1
{\displaystyle =\int {\frac {\mathrm {d} u}{u^{2}+1}}+{\frac {1}{2}}{\frac {u}{u^{2}+1}}-{\frac {1}{2}}\int {\frac {\mathrm {d} u}{u^{2}+1}}}
=
1
2
arctan
u
+
1
2
u
u
2
+
1
+
C
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}\arctan u+{\frac {1}{2}}{\frac {u}{u^{2}+1}}+C}
=
1
2
arctan
x
1
−
x
2
+
1
2
x
1
−
x
2
+
C
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}\arctan {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}+{\frac {1}{2}}x{\sqrt {1-x^{2}}}+C}
(
sinh
t
=
tanh
t
1
−
tanh
2
t
{\displaystyle \sinh t={\frac {\tanh t}{\sqrt {1-\tanh ^{2}t}}}}
=
1
2
arcsin
x
+
1
2
x
1
−
x
2
+
C
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}\arcsin x+{\frac {1}{2}}x{\sqrt {1-x^{2}}}+C}
첫째 및 둘째 예시는 쌍곡 치환이 더 간편하며, 셋째 예시는 삼각 치환이 더 간편하다.
