쌍선형 형식

선형대수학에서 쌍선형 형식(雙線型形式, 문화어: 쌍1차형식^[1], 영어: bilinear form)은 두 개의 벡터 변수에 대하여 각각 독립적으로 선형인 스칼라 값 함수이다.

정의

가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 위의 쌍선형 형식 $B$ 는 다음과 같은 가군 준동형이다.^[2]^:235^[3]^{:54, (3.13)}

B\colon V\otimes V\to K

여기서 $\otimes$ 는 $K$ -가군의 텐서곱이다. 즉, 구체적으로 다음과 같은 조건을 만족시키는 함수 $B\colon V\times V\to K$ 이다.

(왼쪽 선형성) 임의의 $a,b\in K$ , $u,v,w\in V$ 에 대하여, $B(au+bv,w)=aB(u,w)+bB(v,w)$
(오른쪽 선형성) 임의의 $a,b\in K$ , $u,v,w\in V$ 에 대하여, $B(w,au+bv)=aB(w,u)+bB(w,v)$

가환환 $K$ 가 다음과 같은 2차 자기 동형을 가진다고 하자.

{\bar {\quad }}\colon K\to K

{\bar {\quad }}\circ {\bar {\quad }}=\operatorname {id} _{K}

${\bar {}}$ 에 대한 반쌍선형 형식(半雙線型形式, 영어: sesquilinear form) $B$ 는 다음 조건을 만족시키는 함수 $B\colon V\times V\to K$ 이다.

(왼쪽 반선형성) 임의의 $a,b\in K$ , $u,v,w\in V$ 에 대하여, $B(au+bv,w)={\bar {a}}B(u,w)+{\bar {b}}B(v,w)$
(오른쪽 선형성) 임의의 $a,b\in K$ , $u,v,w\in V$ 에 대하여, $B(w,au+bv)=aB(w,u)+bB(w,v)$

일부 문헌에서는 대신 왼쪽 선형성 · 오른쪽 반선형성을 요구하는 경우도 있다. 대개 전자는 물리학에서, 후자는 순수 수학에서 더 많이 쓰이지만, 힐베르트 공간 따위를 다룰 때에는 대개 전자를 사용한다. 반쌍선형 형식은 쌍선형 형식의 개념의 일반화이며, 만약 자기 동형 ${\bar {\quad }}$ 가 항등 함수라면 이는 쌍선형 형식을 이룬다.

대칭 형식

가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 위의 쌍선형 형식 $B$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, 대칭 쌍선형 형식(對稱雙線型形式, 영어: symmetric bilinear form)이라고 한다.^[2]^:235^[3]^{:54, (3.13)}

B(u,v)=B(v,u)\qquad \forall u,v\in V

가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 위의 쌍선형 형식 $B$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, 반대칭 쌍선형 형식(反對稱雙線型形式, 영어: antisymmetric bilinear form, skew-symmetric bilinear form)이라고 한다.^[3]^{:54, (3.13)}

B(u,v)=-B(v,u)\qquad \forall u,v\in V

가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 위의 쌍선형 형식 $B$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, 교대 쌍선형 형식(交代雙線型形式, 영어: alternating bilinear form)이라고 한다.^[2]^:235^[3]^{:54, (3.13)}

B(v,v)=0\qquad \forall v\in V

$K$ 가 체라고 하면, 이들 사이의 관계는 다음과 같다.

$K$ 가 표수가 2가 아닌 체인 경우: 교대 형식 = 반대칭 형식이며, 대칭 형식이자 반대칭 형식인 경우 0인 상수 함수이다.
$K$ 가 표수가 2인 체인 경우: 교대 형식 $\subsetneq$ 반대칭 형식 = 대칭 형식

자기 동형 ${\bar {\quad }}$ 를 갖는 가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 위의 반쌍선형 형식 $B$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, 에르미트 반쌍선형 형식(Hermite半雙線型形式, 영어: Hermitian sesquilinear form)이라고 한다.

B(u,v)={\overline {B(v,u)}}\qquad \forall u,v\in V

이는 대칭 쌍선형 형식의 일반화이다. 마찬가지로, 반쌍선형 형식 $B$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, 반에르미트 반쌍선형 형식(反Hermite半雙線型形式, 영어: anti-Hermitian sesquilinear form)이라고 한다.

B(u,v)=-{\overline {B(v,u)}}\qquad \forall u,v\in V

만약 $K$ 의 표수가 홀수라면, 에르미트 형식의 개념과 반에르미트 형식의 개념은 일치한다. 교대 반쌍선형 형식(交代半雙線型形式, 영어: alternating sesquilinear form)의 정의는 교대 쌍선형 형식과 같다.

비퇴화 형식

체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$ 위의 쌍선형 형식 $B$ 의 왼쪽 근기(영어: left radical)와 오른쪽 근기(영어: right radical)는 각각 다음과 같다.

\operatorname {rad_{L}} B=\ker(v\mapsto B(v,-))=\{v\in V\colon \forall u\in V\colon B(v,u)=0\}

\operatorname {rad_{R}} B=\ker(v\mapsto B(-,v))=\{v\in V\colon \forall u\in V\colon B(u,v)=0\}

대칭 쌍선형 형식과 반대칭 쌍선형 형식의 경우 왼쪽 근기와 오른쪽 근기가 일치하며, 이 경우 단순히 $B$ 의 근기(영어: radical) $\operatorname {rad} B$ 라고 한다.

체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$ 위의 대칭 또는 반대칭 쌍선형 형식 $B$ 의 근기가 $\{0\}$ 이라면, $B$ 를 비퇴화 쌍선형 형식(非退化雙線型形式, 영어: nondegenerate bilinear form)이라고 한다. 이 조건은 구체적으로 다음과 같다.

\forall v\colon \left(\forall w\colon B(v,w)=0\right)\implies v=0

이 경우, $B$ 를 통해 벡터 공간의 표준적인 동형

i\colon V\to V^{*}

v\mapsto B(v,-)

이 주어진다. (만약 $B$ 가 대칭 쌍선형 형식일 경우 이는 유일하지만, $B$ 가 반대칭 쌍선형 형식일 경우 왼쪽과 오른쪽 동형이 −1배로 서로 다르다.) 이러한 동형이 존재하려면 $V$ 는 유한 차원 벡터 공간이어야 하므로, 비퇴화 쌍선형 형식은 유한 차원 벡터 공간 위에서만 존재할 수 있다.

쌍선형 형식에 대응하는 이차 형식

체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$ 위의 쌍선형 형식 $B$ 에 대응하는 이차 형식(영어: associated quadratic form) $Q_{B}$ 은 다음과 같은 이차 형식이다.

Q_{B}\colon V\to K

Q_{B}\colon v\mapsto B(v,v)

쌍선형 형식과 이차 형식의 관계는 $K$ 의 표수가 2인지 여부에 따라 다르다.

홀수 표수

$K$ 의 표수가 2가 아니라고 하자. 그렇다면, $B$ 를 대칭 성분과 반대칭 성분

B^{+}(u,v)={\frac {1}{2}}\left(B(u,v)+B(v,u)\right)

B^{-}(u,v)={\frac {1}{2}}\left(B(u,v)-B(v,u)\right)

으로 분해할 수 있으며, $B$ 에 대응하는 이차 형식은 대칭 성분 $B^{+}$ 에 의하여 완전히 결정된다.

반대로, 이차 형식 $Q$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 정의할 수 있다.

B(u,v)={\frac {1}{2}}\left(Q(u+v)-Q(u)-Q(v)\right)

그렇다면 $Q$ 는 $B$ 에 대응하는 이차 형식이다.

따라서, 표수가 2가 아닌 경우, 이차 형식의 개념과 대칭 쌍선형 형식의 개념은 서로 동치이다. 즉, 하나가 주어졌을 때 다른 하나는 유일하게 결정된다.

짝수 표수

$K$ 의 표수가 2인 경우, $1/2$ 를 정의할 수 없다. 만약 벡터 공간 $V$ 가 1차원인 경우 여전히 (반)대칭 쌍선형 형식은 이차 형식과 일대일 대응하지만, $V$ 가 2차원 이상일 경우 이차 형식과 쌍선형 형식 사이의 일대일 대응이 더 이상 성립하지 않는다.

예

이차 형식에 대응하는 쌍선형 형식

2차원 벡터 공간 위의 다음과 같은 이차 형식을 생각하자.

Q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}

표수가 2가 아닌 경우, 이에 대응하는 쌍선형 형식은 다음과 같다.

B(x,y;x',y')=axx'+{\frac {1}{2}}b(x'y+xy')+cyy'={\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b/2\\b/2&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}

만약 표수가 2인 경우, $b/2$ 를 정의할 수 없다. 만약 $b\neq 0$ 이라면, 이에 대응하는 쌍선형 형식은 존재하지 않는다.

짝수 표수에서 교대가 아닌 반대칭 형식

표수가 2인 체 위의 2차원 벡터 공간 위에서 다음과 같은 쌍선형 형식을 생각하자.

B(x,y;x',y')=xx'

이는 (반)대칭 쌍선형 형식이지만,

B(1,0;1,0)=1

이므로 교대 형식이 아니다.

각주

↑ “쌍1차형식”. 북한과학기술네트워크. 2015년 9월 25일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 9월 25일에 확인함.
↑ ^가 ^나 ^다 Rotman, Joseph (1994). 《An introduction to the theory of groups》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 148 4판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-4176-8. ISBN 978-1-4612-8686-8. ISSN 0072-5285. Zbl 0810.20001.
↑ ^가 ^나 ^다 ^라 Wilson, Robert (2009). 《The finite simple groups》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 251. Springer. doi:10.1007/978-1-84800-988-2. ISBN 978-1-84800-987-5. ISSN 0072-5285.

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같이 보기

외부 링크

“Bilinear form”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Sesquilinear form”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Bilinear form”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Symmetric bilinear form”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Bilinear form”. 《nLab》 (영어).
“Quadratic refinement”. 《nLab》 (영어).
“Characteristic element of a bilinear form”. 《nLab》 (영어).
이철희. “겹선형 형식(bilinear form)”. 《수학노트》.
이철희. “교대 겹선형 형식”. 《수학노트》.
이철희. “대칭 겹선형 형식과 이차형식”. 《수학노트》.

[1] “쌍1차형식”. 북한과학기술네트워크. 2015년 9월 25일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 9월 25일에 확인함.

[Rotman-2] 가 ^나 ^다 Rotman, Joseph (1994). 《An introduction to the theory of groups》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 148 4판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-4176-8. ISBN 978-1-4612-8686-8. ISSN 0072-5285. Zbl 0810.20001.

[Wilson-3] 가 ^나 ^다 ^라 Wilson, Robert (2009). 《The finite simple groups》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 251. Springer. doi:10.1007/978-1-84800-988-2. ISBN 978-1-84800-987-5. ISSN 0072-5285.

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