함수
g
{\displaystyle g}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
f
{\displaystyle f}
g
(
x
0
)
{\displaystyle g(x_{0})}
f
∘
g
{\displaystyle f\circ g}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
(
f
∘
g
)
′
(
x
0
)
=
f
′
(
g
(
x
0
)
)
g
′
(
x
0
)
{\displaystyle (f\circ g)'(x_{0})=f'(g(x_{0}))g'(x_{0})}
특히, 만약
g
{\displaystyle g}
I
{\displaystyle I}
f
{\displaystyle f}
g
(
I
)
{\displaystyle g(I)}
f
∘
g
{\displaystyle f\circ g}
I
{\displaystyle I}
(
f
∘
g
)
′
=
(
f
′
∘
g
)
⋅
g
′
{\displaystyle (f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'}
이를 라이프니츠 표기법 및 표기
y
=
f
(
u
)
{\displaystyle y=f(u)}
u
=
g
(
x
)
{\displaystyle u=g(x)}
d
y
d
x
=
d
y
d
u
⋅
d
u
d
x
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}}
카라테오도리 보조정리 를 이용하면 간단하게 증명할 수 있다. 연쇄 법칙을 적분에 거꾸로 적용한 것을 치환 적분 이라고 한다.
보다 일반적으로, 함수의 합성의 고계 도함수 에 대한 다음과 같은 공식이 성립하며, 이를 파 디 브루노 공식 (영어 : Faà di Bruno's formula )이라고 한다.
(
f
∘
g
)
(
n
)
(
x
)
=
∑
k
1
,
…
,
k
n
≥
0
k
1
+
2
k
2
+
⋯
n
k
n
=
n
n
!
k
1
!
⋯
k
n
!
f
(
k
1
+
⋯
+
k
n
)
(
g
(
x
)
)
∏
m
=
1
n
(
g
(
m
)
(
x
)
m
!
)
k
m
{\displaystyle (f\circ g)^{(n)}(x)=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}\geq 0}^{k_{1}+2k_{2}+\cdots nk_{n}=n}{\frac {n!}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}f^{(k_{1}+\cdots +k_{n})}(g(x))\prod _{m=1}^{n}\left({\frac {g^{(m)}(x)}{m!}}\right)^{k_{m}}}
a ∈ R n , g : R n → R m , f : R m → R p 라 하자. 만약 g 가 a 에서 미분가능 하고, f 가 g (a )에서 미분가능하다면 f ∘g 는 a 에서 미분가능하고 그 값은 아래와 같다.
D
(
f
∘
g
)
(
a
)
=
D
f
(
g
(
a
)
)
D
g
(
a
)
{\displaystyle D(f\circ g)(\mathbf {a} )=Df(g(\mathbf {a} ))Dg(\mathbf {a} )}
합성함수의 편미분 은 일일이 위 행렬을 계산할 필요 없이 간단히 쓸 수 있다. g (x 1 , x 2 , …, x n ) : R n → R m , f (u 1 , u 2 ,…, u m ) : R m → R 가 a 에서 미분가능하다고 하면 Df 는 ∇f 가 되고 함수 z = f ∘g = f (g (x 1 , x 2 , …, x n ))는 미분가능하고 미분은
D
z
(
a
)
=
D
(
f
∘
g
)
(
a
)
=
D
f
(
g
(
a
)
)
D
g
(
a
)
=
∇
f
(
g
(
a
)
)
D
g
(
a
)
{\displaystyle Dz(a)=D(f\circ g)(\mathbf {a} )=Df(g(\mathbf {a} ))Dg(\mathbf {a} )=\nabla f(g(\mathbf {a} ))Dg(\mathbf {a} )}
편미분은
∂
f
∂
x
j
=
∑
i
=
1
m
∂
f
∂
u
i
∂
u
i
∂
x
j
=
∂
f
∂
u
1
∂
u
1
∂
x
j
+
∂
f
∂
u
2
∂
u
2
∂
x
j
+
⋯
+
∂
f
∂
u
m
∂
u
m
∂
x
j
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}=\sum _{i=1}^{m}{\partial f \over \partial u_{i}}{\partial u_{i} \over \partial x_{j}}={\partial f \over \partial u_{1}}{\partial u_{1} \over \partial x_{j}}+{\partial f \over \partial u_{2}}{\partial u_{2} \over \partial x_{j}}+\cdots +{\partial f \over \partial u_{m}}{\partial u_{m} \over \partial x_{j}}}
이다..
