근 (수학)

근(根, value)은 등식의 일종인 방정식에서 쓰이는 용어로, 특정한 문자에 대한 방정식에서 “특정한 문자”가 ‘어떤 값’으로 변하여 참을 만족했을 때, 그 ‘어떤 값’이 바로 방정식의 근이다.

X 절편

즉, 방정식을 성립하게 하는 미지수의 값이 근이다.

한편 이처럼 식에 포함된 문자에 어떤 값을 넣어도 언제나 성립하는 등식일 때, 즉 0이 아닌 함수 $f(x)$가 있을 때 $f(x)=0$이 되는 $x$의 값을 가리키며 영점(零點)이라고도 한다.

방정식의 개념이 정립된 근원은 그 방정식을 성립시키는 미지수의 값, 근을 구하는 것이 목적인 것이라 방정식을 푸는 것을 근을 구하는 것이라고도 한다.

근은 함수와 그 함수에 $y=0$을 대입한 방정식의 관계를 보여주기도 한다. 함수 $y=f(x)$와 $x$축의 교점의 $x$좌표는 방정식$f(x)=0$의 근이다. 예를 들어 $f(x)=x+9$라는 함수가 있을 때, 방정식 $f(x)=0$에 대하여,$f(-9)=0$이므로 -9는 이 함수와 $x$축의 교점의 $x$좌표이다.

위와 같이 일차방정식의 근은 $x$의 계수가 실수일때는 항상 실근을 가지기에 실수좌표계에서 일차함수와의 관계를 명료하게 나타내는데 유용하다. 그러나 이차방정식의 근은 $x$의 계수가 모두 실수임에도 불구하고 허근을 갖는 경우가 있어, 이 경우는 실수 좌표계에서 점으로 나타낼 수없다. 즉, 이차함수와 이차방정식의 관계를 명료하게 나타내는데 어렵다. 따라서 고등수학과정에서 이차함수와 이차방정식의 관계는 단순히 이차함수와 $x$축의 위치관계만 간단히 다루는것도 실수좌표계는 허수를 점으로 표현할 수 없다는 이유에서이다. 방정식의 근은 복소수의 범위에 국한되지 않고 매우 넓을 수 있다는 가능성을 보여줄 수 있는 증거이기도 하다.

근의 구성

모든 홀수차 실수 계수 다항식들은 적어도 하나의 실수인 근을 가진다. 짝수차 다항식의 경우 반드시 실수인 근을 가지는 것은 아니지만, 대수학의 기본 정리에 따르면 모든 n차 다항식은 중근을 포함해서 n개의 복소수 근을 가진다. 실수 계수 다항식의 근이 실수가 아닌 경우 그 켤레복소수 또한 그 다항식의 근이다.

어떤 방정식이 $0x=0$의 꼴로 나타내어지면 근의 개수가 무한해지므로 이 경우를 부정(不定)이라고 한다. 반대로, 방정식이 $0x=a$(a≠0)의 꼴로 나타내어진다면 근이 존재하지 않게 되므로 이 경우를 불능(不能)이라고 한다.

근의 공식

1차부터 4차까지의 다항방정식은 사칙 연산과 제곱근만 쓰는 일반화된 식으로 근을 표현할 수 있는데, 이를 근의 공식이라 하며 특히 이차 방정식의 $\textstyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$가 대표적이다. 5차 이상의 다항방정식은 아벨-루피니 정리에 의해 일반적인 대수적 근의 공식이 존재하지 않음이 알려져 있다. 다만, 타원함수 등의 초월함수를 이용하면 5차 이상의 방정식도 근의 공식을 만들 수 있다.

어원

페르시아의 수학자 콰리즈미(783~850)의 《약분·소거 계산론》에는 ‘근본’·‘기반’·‘뿌리’ 등을 뜻하는 아랍어 단어인 ‘자드르(جذر)’가 여러 용도로 쓰인다. ‘자드르(جذر)’는 단위면적을 부르는 말로도 썼는데, 예를 들어 특정한 조건을 만족하는 널판지의 단위면적을 구하는 문제는 방정식의 근을 구하는 문제로 치환할 수 있다. 중세 유럽인들이 이 책을 라틴어로 번역하면서 ‘자드르(جذر)’를 ‘뿌리’라는 뜻의 단어 ‘라딕스(radix)’로 번역했다.

같이 보기

• 제곱근
• 이차방정식
• 극점

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Root”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.