오일러 변환

해석학에서 오일러 변환(Euler Transformation)이란 레온하르트 오일러의 이름이 붙은 무한급수의 변환 기법이다. 이 변환은 수열의 이항 변환(Binomial Transformation)(혹은 마르코프 변환)을 이용한 중요한 응용 사례로 꼽힌다. 이 기법을 이용하면 일반적으로는 구하기 힘든 형태의 무한급수의 합을 구할 수 있는데, 특히 교대급수가 양수항 급수로 변환되는 경우가 많으므로 상당히 유용하다.

공식화

오일러 변환은 수열 ${a_{n}}$에 이항 변환 $\Delta ^{n}$을 적용하여, 다음과 같이 정의된다.

• $E_{a}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}a_{0}}{2^{k+1}}}$

이때, 오일러 변환의 가능성을 보장해주는 정리는 다음과 같다.

• 만약 급수 $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}a_{k}$ 가 수렴하면, 오일러 변환 $E_{a}$ 도 역시 수렴하고, $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}a_{k}=E_{a}$ 가 성립한다.

즉, 교대급수 판정법에 의해 ${a_{n}}$ 이 0으로 수렴하는 감소수열이기만 하면 오일러 변환은 수렴하고, 위 정리를 이용할 수 있다.

응용

오일러 변환을 이용해 고전적인 교대급수 $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {1}{1+k}}$ 의 값을 구해 보자.

우선 수열 $a_{n}={\frac {1}{1+n}}$ 에 이항 변환을 적용하여 $\Delta ^{n}a_{0}$을 구하면,

$\Delta ^{0}a_{0}=1$

$\Delta ^{1}a_{0}=1-{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}$

$\Delta ^{2}a_{0}=1-{\frac {2}{2}}+{\frac {1}{3}}={\frac {1}{3}}$

$\Delta ^{3}a_{0}=1-{\frac {3}{2}}+{\frac {3}{3}}-{\frac {1}{4}}={\frac {1}{4}}$

...

$\Delta ^{n}a_{0}={\frac {1}{n+1}}$

이 된다.(이는 재귀 관계를 조금만 생각해보면 명백하다. 파스칼 삼각형과 유사한 도식을 그리고, 맨 왼쪽 변과 그 바로 오른쪽 줄을 고려하면 된다) 따라서, ${a_{n}}$ 의 오일러 변환은,

$E_{a}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}a_{0}}{2^{k+1}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+1)2^{k+1}}}$

이 되고, 맨 우변의 식은 물론 $log2$ 가 된다.

같이 보기

• 이항 변환
• 교대급수

참고 문헌

• Konrad Knopp, Theory And Application of Infinite Series, Dover, 1990