워드-다카하시 항등식

양자장론에서 워드-다카하시 항등식(Ward–Takahashi identity)은 뇌터 정리를 일반화한 항등식이다.

역사

존 클라이브 워드(John Clive Ward)가 1950년에 특수한 형태를 발표하였다. 다카하시 야스시(高橋 康 (たかはし やすし))가 이를 일반화하였다.

정의

주어진 양자장론이 어떤 전역적(global) 대칭 $\delta _{\epsilon }$을 가진다고 하자. 즉,

$\delta _{\epsilon }\left[D\phi \;\exp(iS[\phi ])\right]=0$

이라고 하자. 여기서 $D\phi$는 경로 적분의 측도이고, $\exp(iS)$는 경로 적분의 볼츠만 인자이고, $X$는 주어진 연산자이다. 이제, $\epsilon$을 상수가 아니라 (무한소의) 함수 $\epsilon (x)$로 놓자. 그렇다면 $D\phi \;\exp(iS)$의 변분은 일반적으로 다음과 같은 꼴을 취한다.

$\delta _{\epsilon }\left[D\phi \;\exp(iS[\phi ])\right]=D\phi '\;\exp(iS[\phi '])i\int J^{\mu }\partial _{\mu }\epsilon \;d^{D}x=-D\phi '\;\exp(iS[\phi '])i\int (\partial \cdot J)\epsilon \;d^{D}x$.

뿐만 아니라, 임의의 연산자 $X$를 삽입하면 다음과 같다.

$\delta _{\epsilon }\left[D\phi \;X[\phi ]\exp(iS[\phi ])\right]=-D\phi '\;X[\phi ']\exp(iS[\phi '])\int (\partial \cdot J)\epsilon \;d^{D}x+D\phi \;(\delta _{\epsilon }X)\exp(iS[\phi ])$.

이제 다음과 같은 항등식을 유도할 수 있다.

$0=\int X[\phi ']\exp(iS[\phi '])\;D\phi '-\int X[\phi ]\exp(iS[\phi ])\;D\phi$

$=\int \delta _{\epsilon }\left[X[\phi ]\exp(iS[\phi ])\;D\phi \right]$

$=\langle \delta _{\epsilon }X\rangle _{0}-i\int \langle (\partial \cdot J)X\rangle _{0}\epsilon \;d^{D}x$.

여기서 $\langle \cdots \rangle _{0}$은 시간 순서 진공 기댓값이다. 이를 워드-다카하시 항등식이라고 한다.

워드-다카하시 항등식을 비가환 게이지 대칭에 대하여 일반화할 수 있다. 이를 슬라브노프-테일러 항등식(Slavnov–Taylor identity)이라고 한다.

각주

• Peskin, Michael E.; Daniel V. Schroeder (1995). 《An Introduction to Quantum Field Theory》. Westview Press. 238쪽. ISBN 0-201-50397-2. 2014년 9월 2일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2012년 10월 22일에 확인함. 

외부 링크

• (일본어) “ワード・高橋恒等式” (PDF). 2016년 3월 4일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2009년 5월 3일에 확인함.