수학 에서 상 (像, 영어 : image )은 어떤 함수 에 대한 정의역 의 원소(들)에 대응하는 공역 의 원소(들)이다. 반대로, 원상 (原像, 영어 : preimage ) 또는 역상 (逆像, 영어 : inverse image )은 어떤 함수에 대한 공역 의 원소(들)에 대응하는 정의역 의 원소(들)이다.
임의의 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
g
:
Y
→
Z
{\displaystyle g\colon Y\to Z}
합성
g
∘
f
:
X
→
Z
{\displaystyle g\circ f\colon X\to Z}
(
g
∘
f
)
(
A
)
=
g
(
f
(
A
)
)
(
A
⊆
X
)
{\displaystyle (g\circ f)(A)=g(f(A))\qquad (A\subseteq X)}
(
g
∘
f
)
−
1
(
C
)
=
f
−
1
(
g
−
1
(
C
)
)
(
C
⊆
Z
)
{\displaystyle (g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))\qquad (C\subseteq Z)}
즉, 상은 함자
Set
→
Set
{\displaystyle \operatorname {Set} \to \operatorname {Set} }
X
→
P
(
X
)
{\displaystyle X\to {\mathcal {P}}(X)}
(
f
:
X
→
Y
)
↦
(
f
:
P
(
X
)
→
P
(
Y
)
)
{\displaystyle (f\colon X\to Y)\mapsto (f\colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y))}
를 정의하며, 원상은 함자
Set
op
→
Set
{\displaystyle \operatorname {Set} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }
X
→
P
(
X
)
{\displaystyle X\to {\mathcal {P}}(X)}
(
f
:
X
→
Y
)
↦
(
f
−
1
:
P
(
Y
)
→
P
(
X
)
)
{\displaystyle (f\colon X\to Y)\mapsto (f^{-1}\colon {\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X))}
를 정의한다.
임의의 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
만약
A
⊆
A
′
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq A'\subseteq X}
f
(
A
)
⊆
f
(
A
′
)
{\displaystyle f(A)\subseteq f(A')}
만약
B
⊆
B
′
⊆
Y
{\displaystyle B\subseteq B'\subseteq Y}
f
−
1
(
B
)
⊆
f
−
1
(
B
′
)
{\displaystyle f^{-1}(B)\subseteq f^{-1}(B')}
즉, 임의의 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
f
:
P
(
X
)
→
P
(
Y
)
{\displaystyle f\colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}
f
−
1
:
P
(
Y
)
→
P
(
X
)
{\displaystyle f^{-1}\colon {\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)}
는 (범주로 본) 멱집합 격자 사이의 두 함자 를 이룬다.
임의의 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
임의의
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
f
−
1
(
f
(
A
)
)
⊇
A
{\displaystyle f^{-1}(f(A))\supseteq A}
만약
f
{\displaystyle f}
단사 함수 라면,
f
−
1
(
f
(
A
)
)
=
A
{\displaystyle f^{-1}(f(A))=A}
임의의
B
⊆
X
{\displaystyle B\subseteq X}
f
(
f
−
1
(
B
)
)
⊆
B
{\displaystyle f(f^{-1}(B))\subseteq B}
만약
f
{\displaystyle f}
전사 함수 라면,
f
(
f
−
1
(
B
)
)
=
B
{\displaystyle f(f^{-1}(B))=B}
임의의
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
B
⊆
Y
{\displaystyle B\subseteq Y}
동치 이다.
f
(
A
)
⊆
B
{\displaystyle f(A)\subseteq B}
A
⊆
f
−
1
(
B
)
{\displaystyle A\subseteq f^{-1}(B)}
이에 따라, 임의의 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
f
:
P
(
X
)
→
P
(
Y
)
{\displaystyle f\colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}
f
−
1
:
P
(
Y
)
→
P
(
X
)
{\displaystyle f^{-1}\colon {\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)}
수반 함자 이다.
f
⊣
f
−
1
{\displaystyle f\dashv f^{-1}}
그 밖에도, 임의의 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
정의역 속의 집합족
(
A
i
)
i
∈
I
⊆
P
(
X
)
{\displaystyle (A_{i})_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}
f
(
⋃
i
∈
I
A
i
)
=
⋃
i
∈
I
f
(
A
i
)
{\displaystyle f{\biggl (}\bigcup _{i\in I}A_{i}{\biggr )}=\bigcup _{i\in I}f(A_{i})}
f
(
⋂
i
∈
I
A
i
)
⊆
⋂
i
∈
I
f
(
A
i
)
{\displaystyle f{\biggl (}\bigcap _{i\in I}A_{i}{\biggr )}\subseteq \bigcap _{i\in I}f(A_{i})}
공역 속 집합족
(
B
j
)
j
∈
J
⊆
P
(
Y
)
{\displaystyle (B_{j})_{j\in J}\subseteq {\mathcal {P}}(Y)}
f
−
1
(
⋃
j
∈
J
B
j
)
=
⋃
j
∈
J
f
−
1
(
B
j
)
{\displaystyle f^{-1}{\biggl (}\bigcup _{j\in J}B_{j}{\biggr )}=\bigcup _{j\in J}f^{-1}\left(B_{j}\right)}
f
−
1
(
⋂
j
∈
J
B
j
)
=
⋂
j
∈
J
f
−
1
(
B
j
)
{\displaystyle f^{-1}{\biggl (}\bigcap _{j\in J}B_{j}{\biggr )}=\bigcap _{j\in J}f^{-1}\left(B_{j}\right)}
정의역의 두 부분 집합
A
,
A
′
⊆
X
{\displaystyle A,A'\subseteq X}
f
(
A
∖
A
′
)
⊇
f
(
A
)
∖
f
(
A
′
)
{\displaystyle f(A\setminus A')\supseteq f(A)\setminus f(A')}
공역의 두 부분 집합
B
,
B
′
⊆
Y
{\displaystyle B,B'\subseteq Y}
f
−
1
(
B
∖
B
′
)
=
f
−
1
(
B
)
∖
f
−
1
(
B
′
)
{\displaystyle f^{-1}(B\setminus B')=f^{-1}(B)\setminus f^{-1}(B')}
![{\displaystyle f[A]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35ed71bdb47bfe4c79812b2740415da6f8914c21)
![{\displaystyle f^{-1}[B]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6089e39c5def7b9907ba317bbb0593f74e5550aa)
