원자 (순서론)

순서론에서 원자(原子, 영어: atom)는 최소 원소를 덮는 원소이다.

정의

부분 순서 집합 $(P,\leq )$의 임의의 두 원소 $a,b\in P$에 대하여, 이항 관계 $<:$를 다음과 같이 정의하자.

$a<:b\iff a<b\land \nexists c\in P\colon a<c<b$

"$a<:b$는 "$b$가 $a$를 덮는다(영어: cover)"고 읽는다.

최소 원소를 갖는 부분 순서 집합의 원자는 최소 원소를 덮는 원소이다.

원자 집합

부분 순서 집합 $(P,\leq )$가 다음 조건들을 만족시키면, 원자 집합(原子集合, 영어: atomic set)이라고 한다.

• 최소 원소 $\bot \in P$를 갖는다.
• 임의의 원소 $a\in P$에 대하여, 만약 $a\neq \bot$이라면 $b\leq a$인 원자 $b$가 존재한다.

부분 순서 집합 $(P,\leq )$가 다음 조건들을 만족시키면, 상대적 원자 집합(영어: relatively atomic set)이라고 한다.

• 임의의 원소 $a,b\in P$에 대하여, $a<b$라면 $[a,b]=\{c\in P\colon a\leq c\leq b\}$는 원자 집합이다.

부분 순서 집합 $(P,\leq )$가 다음 조건들을 만족시키면, 원자성 집합(영어: atomistic set)이라고 한다.

• 최소 원소 $\bot \in P$를 갖는다.
• 임의의 원소 $a\in P$에 대하여, $\sup S_{a}=a$인, 원자들의 집합 $S_{a}$가 존재한다.

공원자

거꾸로 최대 원소 $\top$을 가진 부분 순서 집합에 대해서는 공원자(原子coatom)라는 개념 및 이에 따른 집합 개념들을 정의할 수 있다. 즉, 부분 순서 집합 $(P,\leq )$의 공원자는 반대 순서 집합 $P^{\operatorname {op} }=(P,\geq )$의 원자이다. 마찬가지로, 공원자 집합(영어: coatomic set) · 상대적 공원자 집합(영어: relatively coatomic set) · 공원자성 집합(영어: coatomistic set)은 그 반대 순서 집합이 원자 집합 · 상대적 원자 집합 · 원자성 집합인 부분 순서 집합이다.

성질

최소 원소를 갖는 상대적 원자 집합은 원자 집합이다. 모든 유한 부분 순서 집합은 상대적 원자 집합이며, 따라서 최소 원소를 갖는 유한 부분 순서 집합은 원자 집합이다.

예

자연수(음이 아닌 정수)의 전순서 집합 $(\mathbb {N} ,\leq )$는 최소 원소 0을 가지며, 이 부분 순서 집합의 원자는 1밖에 없다. 이는 원자 집합이며, 상대적 원자 집합이며, 또한 원자성 집합이다. 보다 일반적으로, 모든 정렬 집합은 원자 집합이며, 상대적 원자 집합이며, 원자성 집합이다.

양의 정수의 약수 관계 $\mid$에 대한 격자 $(\mathbb {Z} ^{+},\mid )$는 최소 원소 0을 가지며, 원자는 소수이다. 이 집합은 역시 원자 집합이며, 상대적 원자 집합이지만 원자성 집합이 아니다. 예를 들어, 4는 원자들의 집합의 상한으로 나타낼 수 없다.

집합 $S$의 멱집합 $({\mathcal {P}}(S),\subseteq )$은 최소 원소 $\varnothing$을 갖고, 원자들은 크기가 1인 부분 집합들이다. 이 역시 원자 집합이며, 상태적 원자 집합이며, 원자형 집합이다.

음이 아닌 실수의 전순서 집합 $(\mathbb {R} _{\geq 0},\leq )$은 최소 원소 0을 갖지만, 원자를 갖지 않는다.

참고 문헌

• Davey, B.A.; H. A. Priestley (2002). 《Introduction to lattices and order》 (영어) 2판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511809088. ISBN 978-0-521-78451-1. Zbl 1002.06001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)