윌슨의 정리

윌슨의 정리(영어: Wilson's Theorem)는 1 보다 큰 자연수 ${\textstyle p}$ 에 대해서

(p-1)!\ \equiv \ -1{\pmod {p}}

위 명제가 성립함은 ${\textstyle p}$ 가 소수일 필요충분조건이라는 정수론의 정리이다.

즉, 자연수 ${\textstyle p>1}$ 에 대해 다음 두 명제가 성립한다:

${\textstyle p}$ 가 소수이면 ${\textstyle p\ |\ (p-1)!+1}$
${\textstyle p\ |\ (p-1)!+1}$ 가 성립하면 ${\textstyle p}$ 는 소수

증명

필요조건의 증명

만약 ${\textstyle p}$ 가 소수이면, ${\textstyle p}$ 의 기약잉여계 ${\textstyle G=(\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{\times }\equiv \{1,2,3,\ldots ,(p-1)\}}$ 는 $p$ 에 대한 가환환을 이룬다.

이것은 ${\textstyle G}$ 의 임의의 원소 $i$ 에 대하여, ${\textstyle ij\equiv 1{\pmod {p}}}$ 이 성립하는 역원 ${\textstyle j}$ 가 존재한다는 것이다.

만약 ${\textstyle i\equiv j{\pmod {p}}}$ 이면,

${\begin{alignedat}{2}i^{2}\equiv 1{\pmod {p}}&\Longrightarrow \ i^{2}-1\equiv (i-1)(i+1)\equiv 0{\pmod {p}}\\&\Longrightarrow i\equiv 1\ \mathrm {or} \ (p-1)\\\end{alignedat}}$

이와 같이 ${\textstyle 1}$ 과 ${\textstyle p-1}$ 만이 자기 자신을 곱의 역원으로 가지고, 나머지 원소들은 자신이 아닌 다른 원소를 역원으로 갖는다.

따라서, ${\textstyle 1}$ 과 ${\textstyle p-1}$ 을 제외한 원소들을 모두 곱하면 법 $p$ 에 대해 1과 합동이 되고, ${\textstyle G}$ 의 원소들을 모두 곱한 값, 즉 ${\textstyle (p-1)!}$ 의 값은 −1과 합동이 된다.