유도 표현

군 표현론에서 유도 표현(誘導表現, 영어: induced representation)은 부분군의 표현을 전체 군의 표현으로 확장시키는 방법이다.

정의

유한군 $G$의 부분군 $H\subset G$의 표현 $V$가 주어졌다고 하고, 좌잉여류의 집합 $G/H$에서 각각 대표 원소 $x_{i}$를 뽑자.

그렇다면 $G$의 유도 표현은 공간

$V^{(G/H)\oplus }=\bigoplus _{i}x_{i}V$

위에 정의된 표현이다. 즉, $V$의 $[G:H]$개만큼의 복사본들의 직합이다. 이 공간 위의 작용은 다음과 같다. 모든 $g\in G$ 및 $x_{i}$에 대하여, $h_{i}\in H$이며

$gx_{i}=x_{j(i)}h_{i}$

인 $(x_{j(i)},h_{i})$가 존재한다. 그렇다면

$g\cdot \sum _{i}x_{i}v_{i}=\sum _{i}x_{j(i)}h_{i}\cdot v_{i}$

이다.

유한군 대신 국소 콤팩트 위상군에 대해서도 유사한 정의가 존재한다.

응용

유도 표현은 양자역학의 위그너 분류의 핵심이 된다. 역사적으로, 유진 위그너가 위그너 분류를 먼저 발표하였으며, 이를 조지 매키(영어: George Mackey)가 수학적으로 엄밀히 증명하고 일반화하였다.

참고 문헌

• Kaniuth, E.; K. Taylor (2013). 《Induced Representations of Locally Compact Groups》 (영어). Cambridge University Press. 

외부 링크

• “Induced representation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Frobenius reciprocity”. 《nLab》 (영어). 
• “Induced representation”. 《nLab》 (영어).