이항 급수

해석학에서 이항 급수(二項級數, 영어: binomial series)는 이항 계수를 계수로 하는 멱급수이다. 이항식의 거듭제곱의 매클로린 급수이다. 이항 정리의 일반화이다.

정의

복소수 $\alpha \in \mathbb {C}$ 가 주어졌을 때, 이항 급수는 $(1+x)^{\alpha }$ 의 매클로린 급수이다. 이는 다음과 같다.

(1+x)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{k}}{k!}}x^{k}=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{6}}x^{3}+\cdots

여기서 $\textstyle {\binom {\alpha }{k}}$ 는 이항 계수, $(\alpha )_{k}$ 는 하강 계승, $k!$ 는 계승이다.

음이항 급수(陰二項級數, 영어: negative binomial series)는 $(1-x)^{-\alpha }$ 의 매클로린 급수이다. 이를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

(1-x)^{-\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha +k-1}{k}}x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{(k)}}{k!}}x^{k}=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha +1)}{2}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)}{6}}x^{3}+\cdots

여기서 $\alpha ^{(k)}$ 는 상승 계승이다.

이항 급수의 수렴역은 다음과 같다. (여기서 $\mathbb {N}$ 은 음의 아닌 정수의 집합)

{\begin{cases}\mathbb {C} &\alpha \in \mathbb {N} \\\{x\in \mathbb {C} \colon |x|\leq 1\}&\operatorname {Re} \alpha >0,\;\alpha \not \in \mathbb {N} \\\{x\in \mathbb {C} \colon |x|\leq 1\}\setminus \{-1\}&-1<\operatorname {Re} \alpha \leq 0,\;\alpha \neq 0\\\{x\in \mathbb {C} \colon |x|<1\}&\operatorname {Re} \alpha \leq -1\end{cases}}

특히, 실수의 경우의 수렴역은 다음과 같다.

{\begin{cases}\mathbb {R} &\alpha \in \mathbb {N} \\{}[-1,1]&\alpha >0,\;\alpha \not \in \mathbb {N} \\{}(-1,1]&-1<\alpha <0\\{}(-1,1)&\alpha \leq -1\end{cases}}

이항 급수의 $\alpha \in \{0,1,2,\dots \}$ 의 경우를 이항 정리라고 하며, 다음과 같다.

(1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}=1+nx+{\frac {n(n-1)}{2}}x^{2}+\cdots +{\frac {n(n-1)}{2}}x^{n-2}+nx^{n-1}+x^{n}\qquad x\in \mathbb {C}

이항 급수의 $\alpha =-1/2$ 의 경우는 다음과 같다.

{\frac {1}{\sqrt {1-x}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!}{(2k)!!}}x^{k}=1+{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}+{\frac {5}{16}}x^{3}+\cdots \qquad |x|\leq 1,\;x\neq -1

이항 급수의 $\alpha =-1$ 의 경우는 다음과 같은 기하급수이다.

{\frac {1}{1-x}}=\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots \qquad |x|<1

이항 급수의 $\alpha =-2$ 의 경우는 다음과 같다.

{\frac {1}{(1-x)^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)x^{n}=1+2x+3x^{2}+4x^{3}+\cdots \qquad |x|<1

이철희. “이항급수와 이항정리”. 《수학노트》.
“Binomial series”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Binomial series”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Negative binomial series”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Binomial formula”. 《PlanetMath》 (영어).
“Binomial theorem/General binomial theorem”. 《ProofWiki》 (영어).