자기 사상

수학에서 자기 사상(自己寫像, 영어: endomorphism 엔도모피즘^[*])은 그 정의역과 공역이 같은 사상이다.

정의

범주 ${\mathcal {C}}$에서, $f\colon X\to X$와 같이, 시작과 끝이 같은 사상을 자기 사상이라고 한다.

• 집합의 범주에서, 자기 사상은 정의역과 공역이 같은 함수이며, 이를 자기 함수(自己函數, 영어: self-map)라고 한다.
• 대수 구조의 범주에서, 자기 사상은 자기 준동형 사상(自己準同型寫像)이라고 한다.
• (작은) 범주의 범주에서, 자기 사상은 정의역과 공역이 같은 함자이며, 이를 자기 함자(自己函子, 영어: endofunctor)라고 한다.

범주 ${\mathcal {C}}$의 대상 $X$가 주어졌을 때, $X$의 자기 사상들은 모노이드를 이루며, 이를 자기 사상 모노이드(自己寫像monoid, 영어: endomorphism monoid)라고 한다.

• 아벨 군의 범주 $\operatorname {Ab}$의 모노이드 대상이 환이므로, 아벨 범주(또는 일반적으로 아벨 군에 대하여 풍성한 범주)의 대상 $X$의 자기 사상들은 환을 이룬다. 이를 자기 사상환(自己寫像環, 영어: endomorphism ring)이라고 하고, $\operatorname {End} (X)$라고 쓴다.
• (작은) 범주의 범주 $\operatorname {Cat}$는 2-범주이므로, 주어진 범주 ${\mathcal {C}}$ 위의 자기 함자들의 모임 $\operatorname {End} {\mathcal {C}}$는 범주를 이룬다. 즉, 이 범주의 사상은 자기 함자 사이의 자연 변환이다. 이를 자기 함자 범주(自己函子範疇, 영어: endofunctor category)라고 한다. 자기 함자 범주에서의 모노이드 대상은 모나드라고 한다.

동형 사상인 자기 사상을 자기 동형 사상이라고 한다.

구체적 범주의 자기 사상 $f\colon X\to X$에 대하여, 고정점은 $f(x)=x$인 원소 $x\in X$이다.

예

체 $K$에 대한 벡터 공간의 범주 $K{\text{-Vect}}$에서, 벡터 공간 $V$의 자기 사상은 선형 변환 $V\to V$이다. 유한 차원의 경우, 이는 정사각 행렬로 나타낼 수 있으며, 이 경우 자기 사상환은 정사각 행렬들의 환 $\operatorname {Mat} (\dim V,k)$이다. 자기 동형 사상은 이 가운데 핵과 여핵이 모두 0차원인 경우(전단사인 경우)다.

준군의 경우, 모든 자기 사상은 자기 동형 사상이다. 모노이드 $M$을 하나의 대상 $\bullet$만을 갖는 범주로 간주하였을 때, 유일한 대상의 자기 사상 모노이드 $\operatorname {End} (\bullet )$는 $M$ 자체와 동형이다.

위상 공간의 자기 사상의 경우, 렙셰츠 고정점 정리나 브라우어르 고정점 정리와 같은 정리들이 성립한다.

참고 문헌

• Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001. 

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Endomorphism”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Endomorphism ring”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Self-map”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Endomorphism”. 《nLab》 (영어). 
• “Endomorphism ring”. 《nLab》 (영어). 
• “Endomorphism operad”. 《nLab》 (영어). 
• “Endofunctor”. 《nLab》 (영어). 
• “Self-Map”. 《ProofWiki》 (영어). 

같이 보기

• 자기 동형 사상
• 프로베니우스 사상
• 동형 사상