전하 밀도 (Charge density)는 일정한 길이나 넓이, 또는 부피에 존재하는 전하 의 총량이다. 길이 에 대한 전하 밀도의 단위는 쿨롱 /미터 (C/m)이며, 면적 전하 밀도의 단위는 쿨롱/제곱미터(C/m²), 부피 전하 밀도의 단위는 쿨롱/세제곱미터(C/m³)이다.[ 1]
양전하와 음전하가 혼재할 때에는 음전하의 전하 밀도를 다루는 것이 일반적이다. 일정한 부피에 존재하는 전하 운반자 의 수를 뜻하는 전하 운반자 밀도 와는 다른 개념이므로 혼동하지 않아야 한다. 전하 밀도는 화학에서 입자 나 원자 , 분자 등의 부피 당 전하량을 의미한다. 예를 들어, 알칼리 금속 의 이온 들에서는 원자 반지름이 가장 작은 리튬 이온이 가장 높은 전하 밀도를 갖는다.
길이(
l
{\displaystyle l}
S
{\displaystyle S}
V
{\displaystyle V}
Q
{\displaystyle Q}
α
q
(
r
)
{\displaystyle \alpha _{q}(\mathbf {r} )}
σ
q
(
r
)
{\displaystyle \sigma _{q}(\mathbf {r} )}
ρ
q
(
r
)
{\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )}
적분 하여 구할 수 있다.[ 2] [ 3]
Q
=
∫
L
α
q
(
r
)
d
l
{\displaystyle Q=\int \limits _{L}\alpha _{q}(\mathbf {r} )\,\mathrm {d} l}
Q
=
∫
S
σ
q
(
r
)
d
S
{\displaystyle Q=\int \limits _{S}\sigma _{q}(\mathbf {r} )\,\mathrm {d} S}
Q
=
∫
V
ρ
q
(
r
)
d
V
{\displaystyle Q=\int \limits _{V}\rho _{q}(\mathbf {r} )\,\mathrm {d} V}
실제 연구에 적용될 때 이러한 수식에는 다양한 단위가 도입된다. 예를 들어
λ
{\displaystyle \lambda }
σ
{\displaystyle \sigma }
ρ
{\displaystyle \rho }
ρ
l
{\displaystyle \rho _{l}}
ρ
s
{\displaystyle \rho _{s}}
ρ
v
{\displaystyle \rho _{v}}
전하 밀도가 균일 한 공간에서 총 전하량은 다음과 같이 간략히 표시될 수 있다.
Q
=
V
⋅
ρ
q
,
0
.
{\displaystyle Q=V\cdot \rho _{q,0}.}
이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 먼저 부피에 대한 총 전하량을 구하는 방정식에서
Q
=
∫
V
ρ
q
(
r
)
d
V
.
{\displaystyle Q=\int \limits _{V}\rho _{q}(\mathbf {r} )\,\mathrm {d} V.}
전하밀도가 균일하므로
ρ
q
(
r
)
{\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )}
ρ
q
,
0
{\displaystyle \rho _{q,0}}
Q
=
ρ
q
,
0
∫
V
d
V
=
ρ
q
,
0
⋅
V
{\displaystyle Q=\rho _{q,0}\int \limits _{V}\,\mathrm {d} V=\rho _{q,0}\cdot V}
따라서,
Q
=
V
⋅
ρ
q
,
0
.
{\displaystyle Q=V\cdot \rho _{q,0}.}
다른 차원의 전하량 계산도 위와 같다.
전자 와 같이
N
{\displaystyle N}
디랙 델타 함수 를 사용하여 표현할 수 있다. 예를 들어 전자의 체적 전하 밀도는 다음과 같다.
ρ
(
r
)
=
∑
i
=
1
N
q
i
δ
(
r
−
r
i
)
{\displaystyle \rho (\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})\,\!}
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
q
i
{\displaystyle q_{i}\,\!}
r
i
{\displaystyle \mathbf {r} _{i}\,\!}
만약 모든 전하 운반자의 전하량이 모두
q
{\displaystyle q}
q
=
−
e
{\displaystyle q=-e}
n
(
r
)
{\displaystyle n(\mathbf {r} )}
다른 차원의 전하 밀도 역시 위와 같은 방법으로 표현된다.
양자 역학 은 전하 밀도를 파동함수
ψ
(
r
)
{\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}
[ 4]
ρ
q
(
r
)
=
q
⋅
|
ψ
(
r
)
|
2
{\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=q\cdot |\psi (\mathbf {r} )|^{2}}
일반적으로는 다음과 같이 총 전하량을 구하는 방정식으로 표현된다.
Q
=
q
⋅
∫
|
ψ
(
r
)
|
2
d
r
.
{\displaystyle Q=q\cdot \int |\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d\mathbf {r} .}
↑ 화학용어사전, 일진사, 2006, ISBN 89-429-0903-5
↑ Spacial Charge Distributions - http://www.ac.wwu.edu/~vawter/PhysicsNet/Topics/Gauss/SpacialCharge.html Archived 2009년 4월 22일 - 웨이백 머신
↑ FAWWAZ T.ULABY, 이문수 외 역, 전자기학, 교보문고, 1998, ISBN 89-7085-238-7 , 71쪽
↑ 대한화학교재연구회, 기초 일반화학, 동화기술, 2006, ISBN 89-7432-176-9 , 109-110쪽
