절대 수렴

해석학에서 절대 수렴(絶對收斂, 영어: absolute convergence)은 급수가 각 항에 절댓값을 취하였을 때 수렴하는 성질이다. 만약 어떤 실수항 또는 복소수항 급수가 절대 수렴한다면, 원래의 급수 역시 수렴한다.

실수항 또는 복소수항 급수

정의

$\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

$\mathbb {K}$ 항의 급수 $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}$ ($x_{n}\in \mathbb {K}$)가 주어졌을 때, 만약 각 항에 절댓값을 취하여 얻는 음이 아닌 실수 항의 급수가 수렴한다면, 즉

$\sum _{n=0}^{\infty }|x_{n}|<\infty$

라면, 원래의 급수 $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}$가 절대 수렴한다고 한다.

성질

$\mathbb {K}$ 항의 급수 $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}$ ($x_{n}\in \mathbb {K}$)가 주어졌다고 하자.

만약 $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}$이 절대 수렴한다면, 원래의 급수 역시 수렴한다 (절대 수렴 판정법, 絶對收斂判定法, 영어: absolute convergence test). 그러나 그 역은 성립하지 않는다. $\mathbb {K}$ 항의 급수가 수렴하지만 절대 수렴하지 않는다면, 조건 수렴한다고 한다. 또한, 임의의 순열 $\sigma \in \operatorname {Sym} (\{0,1,2,\dots \})$에 대하여, 그 순열을 통해 항을 재배열하여 얻는 급수 $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}$ 역시 수렴하며, 합은 원래의 급수와 같다.^{:5, §1.1, Theorem 1.1.2} 이는 임의의 바나흐 공간 또는 프레셰 공간 위에서도 성립한다.

증명:

실수항 급수 $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}$ ($x_{n}\in \mathbb {R}$)가 절대 수렴한다고 가정하자. 그렇다면, 임의의 자연수 $n\in \mathbb {N}$에 대하여 $0\leq x_{n}+|x_{n}|\leq 2|x_{n}|$이므로, 임의의 자연수 $n\in \mathbb {N}$에 대하여

$\sum _{k=0}^{n}(x_{k}+|x_{k}|)\leq 2\sum _{k=0}^{n}|x_{k}|$

이다. 따라서

$\sum _{k=0}^{\infty }(x_{k}+|x_{k}|)\leq 2\sum _{k=0}^{\infty }|x_{k}|<\infty$

이다. 즉, $\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }(x_{k}+|x_{k}|)$는 수렴한다. $\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }|x_{k}|$ 역시 수렴하므로, $\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }x_{k}$는 수렴한다.

만약 $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}$이 조건 수렴한다면, $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}$이 발산하게 되는 순열 $\sigma \in \operatorname {Sym} (\{0,1,2,\dots \})$이 존재한다.

만약 $\mathbb {K} =\mathbb {R}$이며, $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}$이 조건 수렴한다면, 임의의 확장된 실수 $s\in [-\infty ,\infty ]$에 대하여, $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}=s$이게 되는 순열 $\sigma \in \operatorname {Sym} (\{0,1,2,\dots \})$이 존재한다 (리만 재배열 정리).^{:6, §1.1, Theorem 1.1.3}

노름 공간 위의 급수

정의

$\mathbb {K}$-노름 공간 $(X,\Vert \cdot \Vert )$ 위의 급수 $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}$ ($x_{n}\in X$)가 주어졌을 때, 만약 각 항에 노름을 취하여 얻는 음이 아닌 실수 항의 급수가 수렴한다면, 즉

$\sum _{n=0}^{\infty }\Vert x_{n}\Vert <\infty$

라면, 원래의 급수 $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}$가 절대 수렴한다고 한다.

성질

바나흐 공간 위의 모든 절대 수렴 급수는 무조건 수렴하며, 특히 (통상적인 의미에서) 수렴한다.^{:9, §1.3} 유한 차원 노름 공간 위의 모든 무조건 수렴 급수는 절대 수렴한다.^{:10, §1.3, Theorem 1.3.5} 이에 따라, 유한 차원 바나흐 공간 위에서 절대 수렴은 무조건 수렴과 동치이다. 무한 차원 바나흐 공간 위에는 무조건 수렴하지만 절대 수렴하지 않는 급수가 존재한다 (드보레츠키-로저스 정리).^{:48, §4.1, Theorem 4.1.1:184, §IV.10, (10.7), Corollary 3}

위상 벡터 공간 위의 급수

정의

하우스도르프 $\mathbb {K}$-국소 볼록 공간 $X$ 위의 급수 $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}$ ($x\in X$)가 주어졌을 때, 만약 임의의 연속 반노름 $\nu \colon X\to [0,\infty )$에 대하여,

$\sum _{n=0}^{\infty }\nu (x_{n})<\infty$

라면, 원래의 급수 $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}$가 절대 수렴한다고 한다.

성질

하우스도르프 완비 국소 볼록 공간 위의 모든 절대 수렴 급수는 무조건 수렴하며, 특히 (통상적인 의미에서) 수렴한다.^{:120, §III, Exercise 23, (a)} 특히, 프레셰 공간 위의 모든 절대 수렴 급수는 무조건 수렴 및 수렴한다. 유한 차원 하우스도르프 국소 볼록 공간 위의 모든 무조건 수렴 급수는 절대 수렴한다.^{:120, §III, Exercise 23, (b)} 핵(영어: nuclear) 프레셰 공간 위에서 절대 수렴은 무조건 수렴과 동치이며, 비(非)핵 프레셰 공간 위에는 무조건 수렴하지만 절대 수렴하지 않는 급수가 존재한다.^{:138, §2.9, Theorem 2.9.14:184, §IV.10, (10.7), Corollary 2}

외부 링크

• “Absolutely convergent series”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Absolutely convergent improper integral”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Absolute convergence”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.