종결식

가환대수학에서 종결식(終結式, 영어: resultant)은 두 다항식이 근을 공유하는지 여부를 나타내는 값이며, 실베스터 행렬의 행렬식이다.

정의

대수적으로 닫힌 체 $K$를 계수로 갖는 두 다항식

$p(x)=p_{\deg p}x^{\deg p}+\cdots \in K[x]$

$q(x)=q_{\deg q}x^{\deg q}+\cdots \in K[x]$

의 종결식은 다음과 같다.

$\operatorname {res} (p,q)=p_{\deg p}^{\deg q}q_{\deg q}^{\deg q}\prod _{x\colon p(x)=0}\prod _{y\colon q(y)=0}(x-y)$

즉, $p$의 근들과 $q$의 근들의 모든 차들의 곱이다. 이 경우, 근이 중복된다면 중복수만큼 거듭하여 계산한다.

두 다항식의 종결식은 실베스터 행렬의 행렬식과 같다. 이는 $p$와 $q$의 계수들의 다항식이므로, 대수적으로 닫힌 체가 아닌 임의의 가환환의 계수를 갖는 다항식환에서 정의할 수 있다.

성질

임의의 가환환 $R$ 및 $p,q,r\in R[x]$에 대하여, 다음이 성립한다.

• (등급 가환성) $\operatorname {res} (p,q)=(-1)^{\deg p\deg q}\operatorname {res} (q,p)$
• (승법성) $\operatorname {res} (pq,r)=\operatorname {res} (p,r)\operatorname {res} (q,r)$

대수적으로 닫힌 체 $K$ 및 0이 아닌 $p,q\in K[x]$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.^{:203, Corollary 8.4}

• $\operatorname {res} (p,q)=0$
• $p$와 $q$는 적어도 하나의 근을 공유한다.
• $p$와 $q$의 최대 공약 다항식은 자명하지 않다.

같이 보기

• 판별식

외부 링크

• “Resultant”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Resultant”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.