직교

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직교(直交, 영어: orthogonality)는 기하학의 수직을 일반화한 용어이다. 두 벡터의 내적이 0일 때, 다시 말해 이 둘이 직각을 이룰 때, 이 두 벡터가 서로 직교한다고 한다. 기호는 $\perp$로 나타낸다.

선분 AB와 CD가 서로 수직이다. 수직

어원

Orthogonality라는 단어는 고대 그리스어로 '꼿꼿하다'는 의미의 ὀρθός (orthos)와 '각도'라는 의미의 γωνία (gonia)에서 유래한다. 이 둘의 합성어인 ὀρθογώνιον은 이후 로마에서 orthogonium로 바뀌는데 처음에는 직사각형을 나타내는 단어였다. 이후 이것이 직각삼각형 역시 의미하다가, 12세기에 처음으로 직각 또는 직각의 관계를 나타내는 단어로 사용되었다. 한문으로는 수직하여(直) 만난다(交)는 뜻이다.

정의

가군 $_{R}M$의 원소 $m\in M$와 쌍대 가군 $M_{R}^{\vee }$의 원소 $f\in M^{\vee }$가 $f(m)=0$을 만족시키면, $f$와 $m$이 서로 직교한다고 한다. 만약 부분 가군 $N\subset M$의 모든 원소가 쌍대 가군의 부분 가군 $N'\subset M$의 모든 원소와 직교한다면, $N,N'$가 서로 직교한다고 한다.

특히, 내적 공간 $(V,\langle -,-\rangle )$ 속의 두 벡터 $u,v\in V$가 만약 $\langle u,-\rangle \in V^{*}$와 $v\in V$를 직교하게 만든다면, 즉 $\langle u,v\rangle =0$이라면, 다시 말해 $u,v$ 사이의 각이 직각이라면, $u,v$가 서로 직교한다고 한다. 쌍마다 직교하는 벡터들의 집합을 직교 집합(直交集合, 영어: orthogonal set)이라고 한다. 직교 집합에서 영벡터를 제거하면 항상 선형 독립 집합이 된다. 직교 집합을 이루는 기저를 직교 기저(直交基底, 영어: orthogonal basis)라고 한다. 이보다 더 자주 사용되는 개념은 정규 직교 집합(正規直交集合, 영어: orthonormal set)과 정규 직교 기저인데, 이는 단위 벡터로 구성된 직교 집합(기저)를 뜻한다. 만약 부분 공간 $U\subset V$ 속의 각 벡터가 부분 공간 $U'\subset V$ 속의 각 벡터와 직교한다면, $U,U'$가 서로 직교한다고 한다. 어떤 부분 공간과 직교하는 최대 부분 공간을 직교 여공간이라고 한다.

예

유클리드 공간의 벡터의 수직은 내적 공간 속 벡터의 직교의 특수한 경우이다.

내적 공간의 원소가 함수일 경우, 그 속의 직교 집합을 직교 함수족이라고 한다.

외부 링크

• “Orthogonality”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Orthogonal”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Orthogonality”. 《nLab》 (영어).