직접곱

대수학에서 직접곱(直接곱, 영어: direct product)은 여러 개의 대수 구조들의 곱집합 위에 표준적으로 정의되는 대수 구조이다. 예를 들어, 여러 군들의 직접곱이나 가군들의 직접곱을 정의할 수 있다.

정의

같은 부호수 $\sigma$의 대수 구조들의 집합 $\{A_{i}\}_{i\in I}$의 직접곱

$\prod _{i\in I}A_{i}$

는 다음과 같은 $\sigma$-대수 구조이다.

• 집합으로서, $\prod _{i\in I}A_{i}$는 $A_{i}$들의 곱집합이다.
• $\sigma$의 각 $n$항 연산 $m$은 $\textstyle \prod _{i\in I}A_{i}$ 위에 성분별로 정의된다. 즉, 구체적으로 다음과 같다.

$\left(m_{\prod _{i\in I}A_{i}}(a^{(1)},a^{(2)},\dots ,a^{(n)})\right)_{i}=m_{A_{i}}(a_{i}^{(1)},a_{i}^{(2)},\dots ,a_{i}^{(n)})\qquad \forall i\in I,\,\forall a^{(1)}\dots ,a^{(n)}\in \prod _{i\in I}A_{i}$

유한 개의 대수 구조들의 직접곱의 경우,

$\prod _{i=1}^{k}A_{i}=A_{1}\times A_{2}\times \cdots \times A_{k}$

와 같이 쓴다.

대수적 구조 다양체의 범주에서, 이는 범주론적 곱과 같다.

예

군의 직접곱

군의 경우, 직접곱은 반직접곱의 특수한 경우다. 즉, 반직접곱 $N\rtimes _{\phi }H$에서, 군의 작용 $\phi \colon H\to \operatorname {Aut} (N)$이 자명한 작용(항등 함수)라면, 이는 직접곱이 된다.

유한 개의 아벨 군들의 직접곱은 직합과 같다. 그러나 무한 개의 아벨 군들의 직접곱은 같은 아벨 군들의 직합과 일반적으로 다르며, 직합은 직접곱의 부분군을 이룬다.

가군의 직접곱

주어진 환에 대한 (좌) 가군의 경우, 유한 개의 직접곱은 직합과 같다. 그러나 무한 개의 가군들의 직접곱은 일반적으로 같은 가군들의 직합과 다르며, 직합은 직접곱의 부분 가군을 이룬다.

집합의 직접곱

자명한 대수 구조로 간주하였을 때, 집합의 직접곱은 곱집합이다.

같이 보기

• 반직접곱
• 곱 (범주론)
• 직합
• 자유곱

참고 문헌

• Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 211 3판. Springer. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1. ISSN 0072-5285. MR 1878556. Zbl 0984.00001. 

외부 링크

• “Direct product”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Direct product”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Group direct product”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Ring direct product”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Direct product”. 《nLab》 (영어).