4항 보조정리

호몰로지 대수학에서 4항 보조정리(四項補助定理, 영어: four lemma)는 두 완전열 사이의 사상 가운데 일부가 전사 사상 또는 단사 사상이라면 가운데의 사상 역시 전사 사상 또는 단사 사상이라는 보조정리이다.

정의

아벨 범주 속에서 다음과 같은 가환 그림이 주어졌다고 하자.

{\begin{matrix}&\to &&\to &&\to \\{\scriptstyle a}\downarrow &&{\scriptstyle b}\downarrow &&{\scriptstyle c}\downarrow &&{\scriptstyle d}\downarrow \\&\to &&\to &&\to \end{matrix}}

이 가환 그림에서, 다음이 성립한다고 하자.

4항 보조정리에 따르면, 다음이 성립한다.^[1]^{:13, Exercise 1.3.3}

이 두 명제는 서로 쌍대이다. 즉, 둘째는 첫째를 반대 범주에서 적용한 것에 불과하다.

이는 다음과 같이 도롱뇽 정리를 써 간단히 증명된다.

증명:

우선, 핵과 여핵을 추가하여, 다음과 같은 이중 사슬 복합체를 생각하자.

{\begin{matrix}&&0&&0\\&&\downarrow &&\downarrow \\&&\ker b&\to &\ker c&\to &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\A&\to &B&\to &C&\to &D\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\A'&\to &B'&\to &C'&\to &D'\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &\operatorname {coker} b&\to &\operatorname {coker} c\\&&\downarrow &&\downarrow \\&&0&&0\end{matrix}}

이제, “ $b$ 단사 ⇒ $c$ 단사”를 증명하려면, $_{=}(\ker c)\cong 0$ 임을 보이면 족하다.

이는 다음과 같은 교외 사상 및 교내 사상으로 구성된 동형 사상으로 주어진다.

{\begin{matrix}&&0&&0\\&&&&\\&&\bullet &&{\underset {=\to \square }{\bullet }}&&0\\&&&&\swarrow \\\bullet &&\bullet _{\square }&\nearrow &^{\square }\bullet &&\bullet \\&&\swarrow &&&&\\\bullet _{\square }&\nearrow &^{\square }\bullet &&\bullet &&\bullet \\\swarrow &&&&\\^{\square }0&&\bullet &&\bullet \\&&&&\\&&0&&0\end{matrix}}

4항 보조정리를 양쪽에 적용하여, 다음과 같은 5항 보조정리(五項補助定理, 영어: five lemma)를 적을 수 있다. 아벨 범주 속에서 다음과 같은 가환 그림이 주어졌다고 하자.

{\begin{matrix}&\to &&\to &&\to &&\to \\{\scriptstyle a}\downarrow &&{\scriptstyle b}\downarrow &&{\scriptstyle c}\downarrow &&{\scriptstyle d}\downarrow &&{\scriptstyle e}\downarrow \\&\to &&\to &&\to &&\to \end{matrix}}

이 가환 그림에서 다음이 성립한다고 하자.

5항 보조정리에 따르면, $c$ 역시 동형 사상이다. 이는 4항 보조정리를 왼쪽 열을 제거한 부분 도형과 오른쪽 열을 제거한 부분 도형에 각각 적용한 것에 불과하다.

5항 보조정리의 특수한 경우로, 다음과 같은 가환 그림을 생각하자.

{\begin{matrix}0\to &&\to &&\to &&\to 0\\&{\scriptstyle b}\downarrow &&{\scriptstyle c}\downarrow &&{\scriptstyle d}\downarrow \\0\to &&\to &&\to &&\to 0\end{matrix}}

짧은 5항 보조정리(-五項補助定理, 영어: short five lemma)에 따르면, 만약 각 행이 짧은 완전열이며 $b$ , $d$ 가 동형 사상이라면 $c$ 역시 동형 사상이다. 짧은 5항 보조정리는 또한 (아벨 범주가 아닌) 군의 범주에서도 성립한다.

4·5항 보조정리는 보조정리에 등장하는 가환 그림이 각각 4×2 또는 5×2개의 대상을 포함하기 때문에 이렇게 명명되었다.

데이비드 앨빈 북스바움은 1955년 논문^[2]에서 아벨 범주의 개념을 도입하였는데, 이 논문에서 이미 5항 보조정리는 보조정리 5.9로 등장한다.

↑ Weibel, Charles A. (1994). 《An introduction to homological algebra》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 38. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139644136. ISBN 978-0-52143500-0. MR 1269324. OCLC 36131259. Zbl 0797.18001.
↑ Buchsbaum, David Alvin (1955). “Exact categories and duality”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 80 (1): 1–34. doi:10.1090/S0002-9947-1955-0074407-6. ISSN 0002-9947. JSTOR 1993003. MR 0074407. Zbl 0065.25502.

Weisstein, Eric Wolfgang. “Four lemma”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Five lemma”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Four lemma”. 《nLab》 (영어).
“Five lemma”. 《nLab》 (영어).
“Five lemma”. 《ProofWiki》 (영어).
“Some intuition behind the five lemma?” (영어). Math Overflow.
Geraschenko, Anton (2007년 11월 13일). “The salamander lemma”. 《Secret Blogging Seminar》 (영어).
Armstrong, John (2007년 10월 1일). “The five lemma”. 《The Unapologetic Mathematician》 (영어).
Armstrong, John (2007년 9월 27일). “Short exact sequences”. 《The Unapologetic Mathematician》 (영어).